Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} \frac{(\ln (\sqrt{x}))}{x^{2}}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\sqrt{x})}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Langkah 1.2

Ketika log mendekati tak hingga, nilainya menjadi $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Langkah 1.3

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\ln (\sqrt{x}))}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{x})]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{x})]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.3.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.5

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.6

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.8.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.10

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.11

Kalikan $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.12

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.13

Kalikan $2$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.14

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.15

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.15.1

Kalikan $x^{\frac{1}{2}}$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.15.1.1

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.15.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.15.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.15.1.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.15.1.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{1}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.15.2

Sederhanakan $2 x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.16

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x}}{2 x}$

Langkah 4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x} \cdot \frac{1}{2 x}$

Langkah 5

Gabungkan faktor-faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $\frac{1}{2 x}$ dengan $\frac{1}{2 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x (2 x)}$

Langkah 5.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x \cdot x}$

Langkah 5.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 (x^{1} x)}$

Langkah 5.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 (x^{1} x^{1})}$

Langkah 5.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x^{1 + 1}}$

Langkah 5.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x^{2}}$

Langkah 6

Pindahkan suku $\frac{1}{4}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 7

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x^{2}}$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0$

Langkah 8

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $0$ .

$0$