Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{5 x - \sin (5 x)}{5 x - \tan (5 x)}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} 5 x - \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} 5 x - \tan (5 x)}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 5 x - lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} 5 x - \tan (5 x)}$

Langkah 1.2.2

Pindahkan suku $5$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} 5 x - \tan (5 x)}$

Langkah 1.2.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{5 lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} 5 x - \tan (5 x)}$

Langkah 1.2.4

Pindahkan suku $5$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to 0} x - \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 5 x - \tan (5 x)}$

Langkah 1.2.5

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{5 \cdot 0 - \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 5 x - \tan (5 x)}$

Langkah 1.2.5.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{5 \cdot 0 - \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 5 x - \tan (5 x)}$

Langkah 1.2.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1.1

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$\frac{0 - \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 5 x - \tan (5 x)}$

Langkah 1.2.6.1.2

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$\frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} 5 x - \tan (5 x)}$

Langkah 1.2.6.1.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} 5 x - \tan (5 x)}$

Langkah 1.2.6.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 5 x - \tan (5 x)}$

Langkah 1.2.6.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x - \tan (5 x)}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x - lim_{x \to 0} \tan (5 x)}$

Langkah 1.3.2

Pindahkan suku $5$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \tan (5 x)}$

Langkah 1.3.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena tangen kontinu.

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x - \tan (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Langkah 1.3.4

Pindahkan suku $5$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x - \tan (5 lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 1.3.5

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{5 \cdot 0 - \tan (5 lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 1.3.5.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{5 \cdot 0 - \tan (5 \cdot 0)}$

Langkah 1.3.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1.1

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$\frac{0}{0 - \tan (5 \cdot 0)}$

Langkah 1.3.6.1.2

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$\frac{0}{0 - \tan (0)}$

Langkah 1.3.6.1.3

Nilai eksak dari $\tan (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

Langkah 1.3.6.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Langkah 1.3.6.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.6.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.7

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{5 x - \sin (5 x)}{5 x - \tan (5 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 x - \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 x - \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 x - \sin (5 x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

Langkah 3.3.3

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 + \frac{d}{d x} [- \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

Langkah 3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \sin (5 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \sin (5 x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

Langkah 3.4.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 5 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

Langkah 3.4.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - (\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

Langkah 3.4.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

Langkah 3.4.3

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

Langkah 3.4.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - (\cos (5 x) (5 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

Langkah 3.4.5

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - (\cos (5 x) \cdot 5)}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

Langkah 3.4.6

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $\cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - (5 \cos (5 x))}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

Langkah 3.4.7

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

Langkah 3.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 x - \tan (5 x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (5 x)]}$

Langkah 3.6

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (5 x)]}$

Langkah 3.6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \tan (5 x)]}$

Langkah 3.6.3

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{5 + \frac{d}{d x} [- \tan (5 x)]}$

Langkah 3.7

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \tan (5 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \tan (5 x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{5 - \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}$

Langkah 3.7.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \tan (x)$ dan $g (x) = 5 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{5 - (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [5 x])}$

Langkah 3.7.2.2

Turunan dari $\tan (u)$ terhadap $u$ adalah $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{5 - (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [5 x])}$

Langkah 3.7.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{5 - (\sec^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}$

Langkah 3.7.3

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{5 - (\sec^{2} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))}$

Langkah 3.7.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{5 - (\sec^{2} (5 x) (5 \cdot 1))}$

Langkah 3.7.5

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{5 - (\sec^{2} (5 x) \cdot 5)}$

Langkah 3.7.6

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $\sec^{2} (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{5 - (5 \sec^{2} (5 x))}$

Langkah 3.7.7

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{5 - 5 \sec^{2} (5 x)}$

Langkah 4

Hapus faktor persekutuan dari $5 - 5 \cos (5 x)$ dan $5 - 5 \sec^{2} (5 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Faktorkan $5$ dari $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (1) - 5 \cos (5 x)}{5 - 5 \sec^{2} (5 x)}$

Langkah 4.2

Faktorkan $5$ dari $- 5 \cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (1) + 5 (- \cos (5 x))}{5 - 5 \sec^{2} (5 x)}$

Langkah 4.3

Faktorkan $5$ dari $5 (1) + 5 (- \cos (5 x))$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (1 - \cos (5 x))}{5 - 5 \sec^{2} (5 x)}$

Langkah 4.4

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Faktorkan $5$ dari $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (1 - \cos (5 x))}{5 \cdot 1 - 5 \sec^{2} (5 x)}$

Langkah 4.4.2

Faktorkan $5$ dari $- 5 \sec^{2} (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (1 - \cos (5 x))}{5 \cdot 1 + 5 (- \sec^{2} (5 x))}$

Langkah 4.4.3

Faktorkan $5$ dari $5 (1) + 5 (- \sec^{2} (5 x))$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (1 - \cos (5 x))}{5 (1 - \sec^{2} (5 x))}$

Langkah 4.4.4

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to 0} \frac{5 (1 - \cos (5 x))}{5 (1 - \sec^{2} (5 x))}$

Langkah 4.4.5

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (5 x)}{1 - \sec^{2} (5 x)}$

Langkah 5

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (5 x)}$

Langkah 5.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (5 x)}$

Langkah 5.1.2.1.2

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (5 x)}$

Langkah 5.1.2.1.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (5 x)}$

Langkah 5.1.2.1.4

Pindahkan suku $5$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1 - \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (5 x)}$

Langkah 5.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1 - \cos (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (5 x)}$

Langkah 5.1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.3.1.1

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (5 x)}$

Langkah 5.1.2.3.1.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (5 x)}$

Langkah 5.1.2.3.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (5 x)}$

Langkah 5.1.2.3.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (5 x)}$

Langkah 5.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (5 x)}$

Langkah 5.1.3.1.2

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (5 x)}$

Langkah 5.1.3.1.3

Pindahkan pangkat $2$ dari $\sec^{2} (5 x)$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{0}{1 - {(lim_{x \to 0} \sec (5 x))}^{2}}$

Langkah 5.1.3.1.4

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sekan kontinu.

$\frac{0}{1 - \sec^{2} (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Langkah 5.1.3.1.5

Pindahkan suku $5$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{1 - \sec^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 5.1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{1 - \sec^{2} (5 \cdot 0)}$

Langkah 5.1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.3.1

Susun kembali $1$ dan $- \sec^{2} (5 \cdot 0)$ .

$\frac{0}{- \sec^{2} (5 \cdot 0) + 1}$

Langkah 5.1.3.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- \sec^{2} (5 \cdot 0)$ .

$\frac{0}{- (\sec^{2} (5 \cdot 0)) + 1}$

Langkah 5.1.3.3.3

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$\frac{0}{- \sec^{2} (5 \cdot 0) - 1 \cdot - 1}$

Langkah 5.1.3.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- \sec^{2} (5 \cdot 0) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{0}{- (\sec^{2} (5 \cdot 0) - 1)}$

Langkah 5.1.3.3.5

Terapkan identitas pythagoras.

$\frac{0}{- \tan^{2} (5 \cdot 0)}$

Langkah 5.1.3.3.6

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$\frac{0}{- \tan^{2} (0)}$

Langkah 5.1.3.3.7

Nilai eksak dari $\tan (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{- 0^{2}}$

Langkah 5.1.3.3.8

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{0}{- 0}$

Langkah 5.1.3.3.9

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 5.1.3.3.10

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 5.1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 5.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 5.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (5 x)}{1 - \sec^{2} (5 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

Langkah 5.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

Langkah 5.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - \cos (5 x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

Langkah 5.3.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

Langkah 5.3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \cos (5 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \cos (5 x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

Langkah 5.3.4.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 5 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

Langkah 5.3.4.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

Langkah 5.3.4.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

Langkah 5.3.4.3

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

Langkah 5.3.4.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

Langkah 5.3.4.5

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (5 x) \cdot 5)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

Langkah 5.3.4.6

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- 5 \sin (5 x))}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

Langkah 5.3.4.7

Kalikan $- 5$ dengan $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 5 \sin (5 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

Langkah 5.3.5

Tambahkan $0$ dan $5 \sin (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

Langkah 5.3.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - \sec^{2} (5 x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (5 x)]}$

Langkah 5.3.7

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (5 x)]}$

Langkah 5.3.8

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (5 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.8.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \sec^{2} (5 x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - \frac{d}{d x} [\sec^{2} (5 x)]}$

Langkah 5.3.8.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \sec (5 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.8.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\sec (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])}$

Langkah 5.3.8.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])}$

Langkah 5.3.8.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\sec (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (2 \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])}$

Langkah 5.3.8.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sec (x)$ dan $g (x) = 5 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.8.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (2 \sec (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x]))}$

Langkah 5.3.8.3.2

Turunan dari $\sec (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (2 \sec (5 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x]))}$

Langkah 5.3.8.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (2 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))}$

Langkah 5.3.8.4

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (2 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])))}$

Langkah 5.3.8.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (2 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) (5 \cdot 1)))}$

Langkah 5.3.8.6

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (2 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) \cdot 5))}$

Langkah 5.3.8.7

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $\sec (5 x) \tan (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (2 \sec (5 x) (5 \cdot (\sec (5 x) \tan (5 x))))}$

Langkah 5.3.8.8

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (10 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x)))}$

Langkah 5.3.8.9

Naikkan $\sec (5 x)$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (10 (\sec^{1} (5 x) \sec (5 x)) \tan (5 x))}$

Langkah 5.3.8.10

Naikkan $\sec (5 x)$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (10 (\sec^{1} (5 x) \sec^{1} (5 x)) \tan (5 x))}$

Langkah 5.3.8.11

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (10 {\sec (5 x)}^{1 + 1} \tan (5 x))}$

Langkah 5.3.8.12

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (10 \sec^{2} (5 x) \tan (5 x))}$

Langkah 5.3.8.13

Kalikan $10$ dengan $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - 10 \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)}$

Langkah 5.3.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.9.1

Kurangi $10 \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)$ dengan $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{- 10 \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)}$

Langkah 5.3.9.2

Tulis kembali $\sec (5 x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{- 10 {(\frac{1}{\cos (5 x)})}^{2} \tan (5 x)}$

Langkah 5.3.9.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{\cos (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{- 10 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (5 x)} \tan (5 x)}$

Langkah 5.3.9.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{- 10 \frac{1}{\cos^{2} (5 x)} \tan (5 x)}$

Langkah 5.3.9.5

Gabungkan $- 10$ dan $\frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{\frac{- 10}{\cos^{2} (5 x)} \tan (5 x)}$

Langkah 5.3.9.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{- \frac{10}{\cos^{2} (5 x)} \tan (5 x)}$

Langkah 5.3.9.7

Tulis kembali $\tan (5 x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{- \frac{10}{\cos^{2} (5 x)} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Langkah 5.3.9.8

Kalikan $- \frac{10}{\cos^{2} (5 x)} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.9.8.1

Kalikan $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ dengan $\frac{10}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{- \frac{\sin (5 x) \cdot 10}{\cos (5 x) \cos^{2} (5 x)}}$

Langkah 5.3.9.8.2

Kalikan $\cos (5 x)$ dengan $\cos^{2} (5 x)$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.9.8.2.1

Kalikan $\cos (5 x)$ dengan $\cos^{2} (5 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.9.8.2.1.1

Naikkan $\cos (5 x)$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{- \frac{\sin (5 x) \cdot 10}{\cos^{1} (5 x) \cos^{2} (5 x)}}$

Langkah 5.3.9.8.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{- \frac{\sin (5 x) \cdot 10}{{\cos (5 x)}^{1 + 2}}}$

Langkah 5.3.9.8.2.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{- \frac{\sin (5 x) \cdot 10}{\cos^{3} (5 x)}}$

Langkah 5.3.9.9

Pindahkan $10$ ke sebelah kiri $\sin (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{- \frac{10 \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)}}$

Langkah 5.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to 0} 5 \sin (5 x) (- \frac{\cos^{3} (5 x)}{10 \sin (5 x)})$

Langkah 5.5

Gabungkan faktor-faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$lim_{x \to 0} - 5 \sin (5 x) \frac{\cos^{3} (5 x)}{10 \sin (5 x)}$

Langkah 5.5.2

Gabungkan $\frac{\cos^{3} (5 x)}{10 \sin (5 x)}$ dan $- 5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (5 x) \cdot - 5}{10 \sin (5 x)} \sin (5 x)$

Langkah 5.5.3

Gabungkan $\frac{\cos^{3} (5 x) \cdot - 5}{10 \sin (5 x)}$ dan $\sin (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (5 x) \cdot - 5 \sin (5 x)}{10 \sin (5 x)}$

Langkah 5.6

Kurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 5$ dan $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.1

Faktorkan $5$ dari $\cos^{3} (5 x) \cdot - 5 \sin (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos^{3} (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x))}{10 \sin (5 x)}$

Langkah 5.6.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.2.1

Faktorkan $5$ dari $10 \sin (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos^{3} (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x))}{5 (2 \sin (5 x))}$

Langkah 5.6.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos^{3} (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x))}{5 (2 \sin (5 x))}$

Langkah 5.6.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x)}{2 \sin (5 x)}$

Langkah 5.6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\sin (5 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x)}{2 \sin (5 x)}$

Langkah 5.6.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (5 x) \cdot - 1}{2}$

Langkah 6

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pindahkan suku $\frac{1}{2}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x) \cdot - 1$

Langkah 6.2

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)$

Langkah 6.3

Pindahkan pangkat $3$ dari $\cos^{3} (5 x)$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{1}{2} \cdot - 1 {(lim_{x \to 0} \cos (5 x))}^{3}$

Langkah 6.4

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \cos^{3} (lim_{x \to 0} 5 x)$

Langkah 6.5

Pindahkan suku $5$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)$

Langkah 7

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \cos^{3} (5 \cdot 0)$

Langkah 8

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\frac{- 1}{2} \cos^{3} (5 \cdot 0)$

Langkah 8.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{2} \cos^{3} (5 \cdot 0)$

Langkah 8.3

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$- \frac{1}{2} \cos^{3} (0)$

Langkah 8.4

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1^{3}$

Langkah 8.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 8.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{2}$