Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{9 x^{2}}{\ln (\sec (x))}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} 9 x^{2}}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Pindahkan suku $9$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{9 lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

Langkah 1.2.1.2

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

Langkah 1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{9 \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{9 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

Langkah 1.2.3.2

Kalikan $9$ dengan $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Pindahkan limit ke dalam logaritma.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} \sec (x))}$

Langkah 1.3.1.2

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sekan kontinu.

$\frac{0}{\ln (\sec (lim_{x \to 0} x))}$

Langkah 1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{\ln (\sec (0))}$

Langkah 1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Langkah 1.3.3.2

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{9 x^{2}}{\ln (\sec (x))} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

Langkah 3.2

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{9 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{9 (2 x)}{\frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

Langkah 3.4

Kalikan $2$ dengan $9$ .

$lim_{x \to 0} \frac{18 x}{\frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

Langkah 3.5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = \sec (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{18 x}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Langkah 3.5.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{18 x}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Langkah 3.5.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{18 x}{\frac{1}{\sec (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Langkah 3.6

Tulis kembali $\sec (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{18 x}{\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Langkah 3.7

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{18 x}{1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Langkah 3.8

Kalikan $\cos (x)$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{18 x}{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Langkah 3.9

Turunan dari $\sec (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{18 x}{\cos (x) (\sec (x) \tan (x))}$

Langkah 3.10

Hilangkan tanda kurung.

$lim_{x \to 0} \frac{18 x}{\cos (x) \sec (x) \tan (x)}$

Langkah 3.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1

Tulis kembali dalam bentuk sinus dan kosinus, kemudian batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1.1

Susun kembali $\cos (x)$ dan $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{18 x}{\sec (x) \cos (x) \tan (x)}$

Langkah 3.11.1.2

Tulis kembali $\cos (x) \sec (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{18 x}{\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) \tan (x)}$

Langkah 3.11.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to 0} \frac{18 x}{1 \tan (x)}$

Langkah 3.11.2

Kalikan $\tan (x)$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{18 x}{\tan (x)}$

Langkah 3.11.3

Tulis kembali $\tan (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{18 x}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Langkah 4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to 0} 18 x \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Langkah 5

Gabungkan faktor-faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $18$ dan $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} x \frac{18 \cos (x)}{\sin (x)}$

Langkah 5.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{18 \cos (x)}{\sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (18 \cos (x))}{\sin (x)}$

Langkah 6

Pindahkan suku $18$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$18 lim_{x \to 0} \frac{x (\cos (x))}{\sin (x)}$

Langkah 7

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$18 \frac{lim_{x \to 0} x (\cos (x))}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Langkah 7.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $0$ .

$18 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Langkah 7.1.2.2

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$18 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Langkah 7.1.2.3

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.3.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$18 \frac{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Langkah 7.1.2.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$18 \frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Langkah 7.1.2.4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.4.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$18 \frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Langkah 7.1.2.4.2

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$18 \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Langkah 7.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.3.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$18 \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 7.1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$18 \frac{0}{\sin (0)}$

Langkah 7.1.3.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$18 (\frac{0}{0})$

Langkah 7.1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$18 (\frac{0}{0})$

Langkah 7.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$18 (\frac{0}{0})$

Langkah 7.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{x (\cos (x))}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 7.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$18 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 7.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

$18 lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 7.3.3

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$18 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 7.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$18 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 7.3.5

Kalikan $\cos (x)$ dengan $1$ .

$18 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 7.3.6

Susun kembali suku-suku.

$18 lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 7.3.7

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$18 lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + \cos (x)}{\cos (x)}$

Langkah 8

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$18 \frac{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Langkah 8.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$18 \frac{- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Langkah 8.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $0$ .

$18 \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Langkah 8.4

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$18 \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Langkah 8.5

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$18 \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Langkah 8.6

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$18 \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 9

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$18 \frac{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 9.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$18 \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 9.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$18 \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 9.4

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$18 \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}{\cos (0)}$

Langkah 10

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$18 \frac{0 \cdot 0 + \cos (0)}{\cos (0)}$

Langkah 10.1.2

Kalikan $0$ dengan $0$ .

$18 \frac{0 + \cos (0)}{\cos (0)}$

Langkah 10.1.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$18 \frac{0 + 1}{\cos (0)}$

Langkah 10.1.4

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$18 \frac{1}{\cos (0)}$

Langkah 10.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$18 (\frac{1}{1})$

Langkah 10.3

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$18 (\frac{1}{1})$

Langkah 10.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$18 \cdot 1$

Langkah 10.4

Kalikan $18$ dengan $1$ .

$18$