Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$

Langkah 1

Tentukan di mana pernyataan $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ tidak terdefinisi.

$- \frac{\sqrt{3}}{3} \leq x \leq \frac{\sqrt{3}}{3}$

Langkah 2

Karena $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ dari kiri dan $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ dari kanan, maka $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ adalah asimtot tegak.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Langkah 3

Karena $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ dari kiri dan $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ dari kanan, maka $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ adalah asimtot tegak.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Langkah 4

Sebutkan semua asimtot tegaknya:

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

Langkah 5

Evaluasi $lim_{x \to \infty} \frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ untuk mencari asimtot datarnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari $x$ dalam penyebut, yaitu $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{- 3}{x}}{\sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Langkah 5.2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Langkah 5.2.2.1.2

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\sqrt{3 + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Langkah 5.2.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 5.2.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 5.2.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 5.2.5

Evaluasi limit dari $4$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{4 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 5.2.6

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{4 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 5.3

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 5.4

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Pindahkan limit ke bawah tanda akar.

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 5.4.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 3 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 5.4.3

Evaluasi limit dari $3$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{\sqrt{3 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 5.5

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x^{2}}$ mendekati $0$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{\sqrt{3 - 0}}$

Langkah 5.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.1

Kalikan $- 3$ dengan $0$ .

$\frac{4 + 0}{\sqrt{3 - 0}}$

Langkah 5.6.1.2

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$\frac{4}{\sqrt{3 - 0}}$

Langkah 5.6.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{4}{\sqrt{3 + 0}}$

Langkah 5.6.2.2

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$\frac{4}{\sqrt{3}}$

Langkah 5.6.3

Kalikan $\frac{4}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Langkah 5.6.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.4.1

Kalikan $\frac{4}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Langkah 5.6.4.2

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Langkah 5.6.4.3

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Langkah 5.6.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Langkah 5.6.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Langkah 5.6.4.6

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.4.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 5.6.4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 5.6.4.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.6.4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.6.4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Langkah 5.6.4.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Langkah 6

Evaluasi $lim_{x \to - \infty} \frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ untuk mencari asimtot datarnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari $x$ dalam penyebut, yaitu $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{- 3}{x}}{- \sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Langkah 6.2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{- \sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{- \sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Langkah 6.2.2.1.2

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{- \sqrt{3 + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Langkah 6.2.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{- \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 6.2.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 4 - \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 6.2.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 4 - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 6.2.5

Evaluasi limit dari $4$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $- \infty$ .

$\frac{4 - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 6.2.6

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{4 - 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 6.3

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 6.4

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 6.4.2

Pindahkan limit ke bawah tanda akar.

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 6.4.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- \infty$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 3 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 6.4.4

Evaluasi limit dari $3$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $- \infty$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- \sqrt{3 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 6.5

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x^{2}}$ mendekati $0$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- \sqrt{3 - 0}}$

Langkah 6.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1.1

Kalikan $- 3$ dengan $0$ .

$\frac{4 + 0}{- \sqrt{3 - 0}}$

Langkah 6.6.1.2

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$\frac{4}{- \sqrt{3 - 0}}$

Langkah 6.6.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{4}{- \sqrt{3 + 0}}$

Langkah 6.6.2.2

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$\frac{4}{- \sqrt{3}}$

Langkah 6.6.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{4}{\sqrt{3}}$

Langkah 6.6.4

Kalikan $\frac{4}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- (\frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Langkah 6.6.5

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.5.1

Kalikan $\frac{4}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Langkah 6.6.5.2

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Langkah 6.6.5.3

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Langkah 6.6.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Langkah 6.6.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Langkah 6.6.5.6

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.5.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 6.6.5.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 6.6.5.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 6.6.5.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.5.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 6.6.5.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Langkah 6.6.5.6.5

Evaluasi eksponennya.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Langkah 7

Tuliskan asimtot datarnya:

$y = \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Langkah 8

Gunakan pembagian polinomial untuk menentukan asimtot miring. Karena pernyataan ini memuat akar, maka pembagian polinomial tidak dapat dilakukan.

Tidak Dapat Mencari Asimtot Miring

Langkah 9

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Asimtot Tegak: $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

Asimtot Datar: $y = \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Tidak Dapat Mencari Asimtot Miring

Langkah 10