Kalkulus Contoh

$f (x) = 4 \sin (x) + \sin (2 x)$

Langkah 1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 \sin (x) + \sin (2 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Langkah 1.1.2.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$4 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$4 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.3.1.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$4 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$4 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Langkah 1.1.3.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$4 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Langkah 1.1.3.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 4 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Langkah 1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Langkah 1.2.2.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$4 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Langkah 1.2.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$- 4 \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \cos (2 x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- 4 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.2.3.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.2.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 1.2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Langkah 1.2.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Langkah 1.2.3.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (- 2 \sin (2 x))$

Langkah 1.2.3.7

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$

Langkah 1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 4 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$ .

$- 4 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$

Langkah 2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 4 \sin (x) - 4 \sin (2 x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$- 4 \sin (x) - 4 \sin (2 x) = 0$

Langkah 2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan identitas sudut ganda sinus.

$- 4 \sin (x) - 4 (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Langkah 2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 4$ .

$- 4 \sin (x) - 8 \sin (x) \cos (x) = 0$

Langkah 2.3

Faktorkan $4 \sin (x)$ dari $- 4 \sin (x) - 8 \sin (x) \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Faktorkan $4 \sin (x)$ dari $- 4 \sin (x)$ .

$4 \sin (x) \cdot - 1 - 8 \sin (x) \cos (x) = 0$

Langkah 2.3.2

Faktorkan $4 \sin (x)$ dari $- 8 \sin (x) \cos (x)$ .

$4 \sin (x) \cdot - 1 + 4 \sin (x) (- 2 \cos (x)) = 0$

Langkah 2.3.3

Faktorkan $4 \sin (x)$ dari $4 \sin (x) \cdot - 1 + 4 \sin (x) (- 2 \cos (x))$ .

$4 \sin (x) (- 1 - 2 \cos (x)) = 0$

Langkah 2.4

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 1 - 2 \cos (x) = 0$

Langkah 2.5

Atur $\sin (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $\sin (x)$ sama dengan $0$ .

$\sin (x) = 0$

Langkah 2.5.2

Selesaikan $\sin (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (0)$

Langkah 2.5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 2.5.2.3

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - 0$

Langkah 2.5.2.4

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$x = π$

Langkah 2.5.2.5

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 2.5.2.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 2.5.2.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 2.5.2.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 2.5.2.6

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2.6

Atur $- 1 - 2 \cos (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Atur $- 1 - 2 \cos (x)$ sama dengan $0$ .

$- 1 - 2 \cos (x) = 0$

Langkah 2.6.2

Selesaikan $- 1 - 2 \cos (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$- 2 \cos (x) = 1$

Langkah 2.6.2.2

Bagi setiap suku pada $- 2 \cos (x) = 1$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- 2 \cos (x) = 1$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Langkah 2.6.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Langkah 2.6.2.2.2.1.2

Bagilah $\cos (x)$ dengan $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{- 2}$

Langkah 2.6.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Langkah 2.6.2.3

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Langkah 2.6.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.4.1

Nilai eksak dari $\arccos (- \frac{1}{2})$ adalah $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Langkah 2.6.2.5

Fungsi kosinus negatif di kuadran kedua dan ketiga. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menghitung penyelesaian di kuadran ketiga.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Langkah 2.6.2.6

Sederhanakan $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.6.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Langkah 2.6.2.6.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.6.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Langkah 2.6.2.6.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Langkah 2.6.2.6.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.6.3.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Langkah 2.6.2.6.3.2

Kurangi $2 π$ dengan $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Langkah 2.6.2.7

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 2.6.2.7.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 2.6.2.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 2.6.2.7.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 2.6.2.8

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2.7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $4 \sin (x) (- 1 - 2 \cos (x)) = 0$ benar.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2.8

Gabungkan $2 π n$ dan $π + 2 π n$ menjadi $π n$ .

$x = π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi dalam $f (x) = 4 \sin (x) + \sin (2 x)$ adalah $(,)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(,)$

Langkah 3.2

Substitusikan $\frac{2 π}{3}$ dalam $f (x) = 4 \sin (x) + \sin (2 x)$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{2 π}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \sin (\frac{2 π}{3}) + \sin (2 (\frac{2 π}{3}))$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \sin (\frac{π}{3}) + \sin (2 (\frac{2 π}{3}))$

Langkah 3.2.2.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{2 π}{3}))$

Langkah 3.2.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 (2) (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{2 π}{3}))$

Langkah 3.2.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cdot (2 (\frac{\sqrt{3}}{2})) + \sin (2 (\frac{2 π}{3}))$

Langkah 3.2.2.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{2 π}{3}))$

Langkah 3.2.2.1.4

Kalikan $2 (\frac{2 π}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.4.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \sqrt{3} + \sin (\frac{2 (2 π)}{3})$

Langkah 3.2.2.1.4.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \sqrt{3} + \sin (\frac{4 π}{3})$

Langkah 3.2.2.1.5

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran ketiga.

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \sqrt{3} - \sin (\frac{π}{3})$

Langkah 3.2.2.1.6

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 3.2.2.2

Untuk menuliskan $2 \sqrt{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 3.2.2.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.3.1

Gabungkan $2 \sqrt{3}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 3.2.2.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3}}{2}$

Langkah 3.2.2.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.4.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{4 \sqrt{3} - \sqrt{3}}{2}$

Langkah 3.2.2.4.2

Kurangi $\sqrt{3}$ dengan $4 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Langkah 3.2.2.5

Jawaban akhirnya adalah $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Langkah 3.3

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $\frac{2 π}{3}$ dalam $f (x) = 4 \sin (x) + \sin (2 x)$ adalah $(\frac{2 π}{3}, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(\frac{2 π}{3}, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Langkah 3.4

Substitusikan $\frac{4 π}{3}$ dalam $f (x) = 4 \sin (x) + \sin (2 x)$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{4 π}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{4 π}{3}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3}) + \sin (2 (\frac{4 π}{3}))$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran ketiga.

$f (\frac{4 π}{3}) = 4 (- \sin (\frac{π}{3})) + \sin (2 (\frac{4 π}{3}))$

Langkah 3.4.2.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{4 π}{3}))$

Langkah 3.4.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$f (\frac{4 π}{3}) = 4 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{4 π}{3}))$

Langkah 3.4.2.1.3.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 (2) (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{4 π}{3}))$

Langkah 3.4.2.1.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cdot (2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})) + \sin (2 (\frac{4 π}{3}))$

Langkah 3.4.2.1.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 (- \sqrt{3}) + \sin (2 (\frac{4 π}{3}))$

Langkah 3.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{4 π}{3}))$

Langkah 3.4.2.1.5

Kalikan $2 (\frac{4 π}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.5.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{4 π}{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \sqrt{3} + \sin (\frac{2 (4 π)}{3})$

Langkah 3.4.2.1.5.2

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \sqrt{3} + \sin (\frac{8 π}{3})$

Langkah 3.4.2.1.6

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \sqrt{3} + \sin (\frac{2 π}{3})$

Langkah 3.4.2.1.7

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \sqrt{3} + \sin (\frac{π}{3})$

Langkah 3.4.2.1.8

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 3.4.2.2

Untuk menuliskan $- 2 \sqrt{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 3.4.2.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.3.1

Gabungkan $- 2 \sqrt{3}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 3.4.2.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3}}{2}$

Langkah 3.4.2.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.4.1

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}$

Langkah 3.4.2.4.2

Tambahkan $- 4 \sqrt{3}$ dan $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 3 \sqrt{3}}{2}$

Langkah 3.4.2.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Langkah 3.4.2.6

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Langkah 3.5

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $\frac{4 π}{3}$ dalam $f (x) = 4 \sin (x) + \sin (2 x)$ adalah $(\frac{4 π}{3}, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(\frac{4 π}{3}, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Langkah 3.6

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(,), (\frac{2 π}{3}, \frac{3 \sqrt{3}}{2}), (\frac{4 π}{3}, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty,) \cup (, \frac{2 π}{3}) \cup (\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}) \cup (\frac{4 π}{3}, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty,)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 0.1) = - 4 \sin (- 0.1) - 4 \sin (2 (- 0.1))$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 4 \sin (- 0.1) - 4 \sin (- 0.2)$

Langkah 5.2.2

Jawaban akhirnya adalah $- 4 \sin (- 0.1) - 4 \sin (- 0.2)$ .

$- 4 \sin (- 0.1) - 4 \sin (- 0.2)$

Langkah 5.3

Pada $- 0.1$ , turunan keduanya adalah $1.19401098$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- \infty,)$ .

Meningkat pada $(- \infty,)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(, \frac{2 π}{3})$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $1.04719755$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (1.04719755) = - 4 \sin (1.04719755) - 4 \sin (2 (1.04719755))$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $2$ dengan $1.04719755$ .

$f'' (1.04719755) = - 4 \sin (1.04719755) - 4 \sin (2.0943951)$

Langkah 6.2.2

Jawaban akhirnya adalah $- 4 \sin (1.04719755) - 4 \sin (2.0943951)$ .

$- 4 \sin (1.04719755) - 4 \sin (2.0943951)$

Langkah 6.3

Pada $1.04719755$ , turunan kedua adalah $- 6.92820323$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(, \frac{2 π}{3})$

Menurun pada $(, \frac{2 π}{3})$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3})$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $3.14159265$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (3.14159265) = - 4 \sin (3.14159265) - 4 \sin (2 (3.14159265))$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan $2$ dengan $3.14159265$ .

$f'' (3.14159265) = - 4 \sin (3.14159265) - 4 \sin (6.2831853)$

Langkah 7.2.2

Jawaban akhirnya adalah $- 4 \sin (3.14159265) - 4 \sin (6.2831853)$ .

$- 4 \sin (3.14159265) - 4 \sin (6.2831853)$

Langkah 7.3

Pada $3.14159265$ , turunan keduanya adalah $2.26621555 E - 15$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3})$ .

Meningkat pada $(\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3})$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{4 π}{3}, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $4.2887902$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (4.2887902) = - 4 \sin (4.2887902) - 4 \sin (2 (4.2887902))$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Kalikan $2$ dengan $4.2887902$ .

$f'' (4.2887902) = - 4 \sin (4.2887902) - 4 \sin (8.5775804)$

Langkah 8.2.2

Jawaban akhirnya adalah $- 4 \sin (4.2887902) - 4 \sin (8.5775804)$ .

$- 4 \sin (4.2887902) - 4 \sin (8.5775804)$

Langkah 8.3

Pada $4.2887902$ , turunan keduanya adalah $0.64875081$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(\frac{4 π}{3}, \infty)$ .

Meningkat pada $(\frac{4 π}{3}, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 9

Titik belok adalah sebuah titik pada kurva di mana kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik-titik belok dalam kasus ini adalah $(,), (\frac{2 π}{3}, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$ .

$(,), (\frac{2 π}{3}, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Langkah 10