Kalkulus Contoh

$y = \sqrt{16 - x^{2}}$ , $y = 0$

Langkah 1

Untuk menghitung volume benda padat, pertama-tama tetapkan daerah dari setiap potongan kemudian integralkan di seluruh jangkauan. Daerah dari setiap potongan adalah daerah lingkaran dengan jari-jari $f (x)$ dan $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 4}^{4} {(f (x))}^{2} d x$ di mana $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Langkah 2

Sederhanakan integrannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali ${\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}^{2}$ sebagai $(4 + x) (4 - x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ sebagai ${((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$V = {({((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Langkah 2.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Langkah 2.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$V = {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Langkah 2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$V = {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Langkah 2.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$V = (4 + x) (4 - x)$

Langkah 2.1.5

Sederhanakan.

$V = (4 + x) (4 - x)$

Langkah 2.2

Perluas $(4 + x) (4 - x)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$V = 4 (4 - x) + x (4 - x)$

Langkah 2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$V = 4 \cdot 4 + 4 (- x) + x (4 - x)$

Langkah 2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$V = 4 \cdot 4 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x)$

Langkah 2.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$V = 16 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x)$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$V = 16 - 4 x + x \cdot 4 + x (- x)$

Langkah 2.3.1.3

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x$ .

$V = 16 - 4 x + 4 \cdot x + x (- x)$

Langkah 2.3.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$V = 16 - 4 x + 4 x - x \cdot x$

Langkah 2.3.1.5

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.5.1

Pindahkan $x$ .

$V = 16 - 4 x + 4 x - (x \cdot x)$

Langkah 2.3.1.5.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$V = 16 - 4 x + 4 x - x^{2}$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $- 4 x$ dan $4 x$ .

$V = 16 + 0 - x^{2}$

Langkah 2.3.3

Tambahkan $16$ dan $0$ .

$V = 16 - x^{2}$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$V = π (\int_{- 4}^{4} 16 d x + \int_{- 4}^{4} - x^{2} d x)$

Langkah 4

Terapkan aturan konstanta.

$V = π (16 x]_{- 4}^{4} + \int_{- 4}^{4} - x^{2} d x)$

Langkah 5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$V = π (16 x]_{- 4}^{4} - \int_{- 4}^{4} x^{2} d x)$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (16 x]_{- 4}^{4} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{4}))$

Langkah 7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$V = π (16 x]_{- 4}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{4}))$

Langkah 7.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Evaluasi $16 x$ pada $4$ dan pada $- 4$ .

$V = π ((16 \cdot 4) - 16 \cdot - 4 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{4}))$

Langkah 7.2.2

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $4$ dan pada $- 4$ .

$V = π (16 \cdot 4 - 16 \cdot - 4 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

Langkah 7.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Kalikan $16$ dengan $4$ .

$V = π (64 - 16 \cdot - 4 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

Langkah 7.2.3.2

Kalikan $- 16$ dengan $- 4$ .

$V = π (64 + 64 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

Langkah 7.2.3.3

Tambahkan $64$ dan $64$ .

$V = π (128 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

Langkah 7.2.3.4

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$V = π (128 - (\frac{64}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

Langkah 7.2.3.5

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $3$ .

$V = π (128 - (\frac{64}{3} - \frac{- 64}{3}))$

Langkah 7.2.3.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$V = π (128 - (\frac{64}{3} + \frac{64}{3}))$

Langkah 7.2.3.7

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$V = π (128 - (\frac{64}{3} + 1 (\frac{64}{3})))$

Langkah 7.2.3.8

Kalikan $\frac{64}{3}$ dengan $1$ .

$V = π (128 - (\frac{64}{3} + \frac{64}{3}))$

Langkah 7.2.3.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (128 - \frac{64 + 64}{3})$

Langkah 7.2.3.10

Tambahkan $64$ dan $64$ .

$V = π (128 - \frac{128}{3})$

Langkah 7.2.3.11

Untuk menuliskan $128$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$V = π (128 \cdot \frac{3}{3} - \frac{128}{3})$

Langkah 7.2.3.12

Gabungkan $128$ dan $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{128 \cdot 3}{3} - \frac{128}{3})$

Langkah 7.2.3.13

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (\frac{128 \cdot 3 - 128}{3})$

Langkah 7.2.3.14

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.14.1

Kalikan $128$ dengan $3$ .

$V = π (\frac{384 - 128}{3})$

Langkah 7.2.3.14.2

Kurangi $128$ dengan $384$ .

$V = π (\frac{256}{3})$

Langkah 7.2.3.15

Gabungkan $π$ dan $\frac{256}{3}$ .

$V = \frac{π \cdot 256}{3}$

Langkah 7.2.3.16

Pindahkan $256$ ke sebelah kiri $π$ .

$V = \frac{256 π}{3}$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$V = \frac{256 π}{3}$

Bentuk Desimal:

$V = 268.08257310 \dots$

Langkah 9