Kalkulus Contoh

$f (x) = 5 \sqrt{x}$ , $[4, 9]$

Langkah 1

Jika $f$ kontinu pada interval $[a, b]$ dan terdiferensialkan pada $(a, b)$ , maka setidaknya satu bilangan riil $c$ ada dalam interval $(a, b)$ sedemikian rupa sehingga $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Teorema nilai rata-ratanya menyatakan hubungan antara gradien garis tangen dengan kurva di $x = c$ dan gradien garis yang melalui titik-titik $(a, f (a))$ dan $(b, f (b))$ .

Jika $f (x)$ kontinu pada $[a, b]$

dan jika $f (x)$ terdiferensialkan pada $(a, b)$ ,

maka ada setidaknya satu titik, $c$ di $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Langkah 2

Periksa apakah $f (x) = 5 \sqrt{x}$ kontinu.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menentukan apakah fungsi tersebut kontinu pada $[4, 9]$ atau tidak, tentukan domain $f (x) = 5 \sqrt{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{x}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$x \geq 0$

Langkah 2.1.2

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$[0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \geq 0}$

Notasi Interval:

$[0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \geq 0}$

Langkah 2.2

$f (x)$ kontinu di $[4, 9]$ .

Fungsinya kontinu.

Langkah 3

Tentukan turunannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.1.2

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Langkah 3.1.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Langkah 3.1.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 3.1.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 3.1.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Langkah 3.1.7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Langkah 3.1.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$5 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Langkah 3.1.9

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 3.1.10

Gabungkan $5$ dan $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{5 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 3.1.11

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4

Tentukan apakah turunannya kontinu di $(4, 9)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menentukan apakah fungsi tersebut kontinu pada $(4, 9)$ atau tidak, tentukan domain $f' (x) = \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ubah persamaan dengan eksponen pecahan menjadi akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\frac{5}{2 \sqrt{x^{1}}}$

Langkah 4.1.1.2

Apa pun yang dipangkatkan ke $1$ sama dengan bilangan pokok itu sendiri.

$\frac{5}{2 \sqrt{x}}$

Langkah 4.1.2

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{x}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$x \geq 0$

Langkah 4.1.3

Atur penyebut dalam $\frac{5}{2 \sqrt{x}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$2 \sqrt{x} = 0$

Langkah 4.1.4

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 4.1.4.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 4.1.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.2.2.1

Sederhanakan ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.2.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 4.1.4.2.2.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 4.1.4.2.2.1.3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.2.2.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 4.1.4.2.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.2.2.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 4.1.4.2.2.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$4 x^{1} = 0^{2}$

Langkah 4.1.4.2.2.1.4

Sederhanakan.

$4 x = 0^{2}$

Langkah 4.1.4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$4 x = 0$

Langkah 4.1.4.3

Bagi setiap suku pada $4 x = 0$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.3.1

Bagilah setiap suku di $4 x = 0$ dengan $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Langkah 4.1.4.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Langkah 4.1.4.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Langkah 4.1.4.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.3.3.1

Bagilah $0$ dengan $4$ .

$x = 0$

Langkah 4.1.5

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x > 0}$

Notasi Interval:

$(0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x > 0}$

Langkah 4.2

$f' (x)$ kontinu di $(4, 9)$ .

Fungsinya kontinu.

Langkah 5

Fungsinya terdiferensialkan pada $(4, 9)$ karena turunannya kontinu di $(4, 9)$ .

Fungsinya terdiferensialkan.

Langkah 6

$f (x)$ memenuhi kedua kondisi untuk teorema nilai rata-rata. Ini kontinu pada $[4, 9]$ dan terdiferensiasi pada $(4, 9)$ .

$f (x)$ kontinu di $[4, 9]$ dan terdiferensiasi di $(4, 9)$ .

Langkah 7

Evaluasi $f (a)$ dari interval $[4, 9]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$f (4) = 5 \sqrt{4}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (4) = 5 \sqrt{4}$

Langkah 7.2.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$f (4) = 5 \sqrt{2^{2}}$

Langkah 7.2.3

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (4) = 5 \cdot 2$

Langkah 7.2.4

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$f (4) = 10$

Langkah 7.2.5

Jawaban akhirnya adalah $10$ .

$10$

Langkah 8

Evaluasi $f (b)$ dari interval $[4, 9]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $9$ pada pernyataan tersebut.

$f (9) = 5 \sqrt{9}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (9) = 5 \sqrt{9}$

Langkah 8.2.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$f (9) = 5 \sqrt{3^{2}}$

Langkah 8.2.3

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (9) = 5 \cdot 3$

Langkah 8.2.4

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$f (9) = 15$

Langkah 8.2.5

Jawaban akhirnya adalah $15$ .

$15$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ untuk $x$ . $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{- (f (9) + f (4))}{- (9 + 4)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Faktorkan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $10$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{15 - 10}{(9) - (4)}$

Langkah 9.1.2

Kurangi $10$ dengan $15$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{5}{(9) - (4)}$

Langkah 9.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{5}{9 - 4}$

Langkah 9.1.4

Kurangi $4$ dengan $9$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{5}{5}$

Langkah 9.1.5

Bagilah $5$ dengan $5$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 1$

Langkah 9.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$2 x^{\frac{1}{2}}, 1$

Langkah 9.2.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$2 x^{\frac{1}{2}}$

Langkah 9.3

Kalikan setiap suku pada $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 1$ dengan $2 x^{\frac{1}{2}}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 1$ dengan $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 9.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 9.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 9.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 9.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 9.3.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$5 = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 9.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.1

Kalikan $2 x^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$5 = 2 x^{\frac{1}{2}}$

Langkah 9.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $2 x^{\frac{1}{2}} = 5$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} = 5$

Langkah 9.4.2

Bagi setiap suku pada $2 x^{\frac{1}{2}} = 5$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x^{\frac{1}{2}} = 5$ dengan $2$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{5}{2}$

Langkah 9.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{5}{2}$

Langkah 9.4.2.2.2

Bagilah $x^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{5}{2}$

Langkah 9.4.3

Pangkatkan setiap sisi persamaan dengan pangkat $2$ untuk menghilangkan eksponen pecahan di sisi kiri.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{5}{2})}^{2}$

Langkah 9.4.4

Sederhanakan bentuk eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.4.1.1

Sederhanakan ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.4.1.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.4.1.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{5}{2})}^{2}$

Langkah 9.4.4.1.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.4.1.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{5}{2})}^{2}$

Langkah 9.4.4.1.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{1} = {(\frac{5}{2})}^{2}$

Langkah 9.4.4.1.1.2

Sederhanakan.

$x = {(\frac{5}{2})}^{2}$

Langkah 9.4.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.4.2.1

Sederhanakan ${(\frac{5}{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.4.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{5}{2}$ .

$x = \frac{5^{2}}{2^{2}}$

Langkah 9.4.4.2.1.2

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{25}{2^{2}}$

Langkah 9.4.4.2.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{25}{4}$

Langkah 10

Terdapat garis tangen yang ditemukan di $x = \frac{25}{4}$ yang sejajar dengan garis yang melalui titik-titik akhir $a = 4$ dan $b = 9$ .

Terdapat garis tangen pada $x = \frac{25}{4}$ yang sejajar dengan garis yang melalui titik-titik akhir $a = 4$ dan $b = 9$

Langkah 11