Kalkulus Contoh

$y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$

Langkah 1

Tulis $y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = x^{2} + 108$ .

$\frac{(x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 108]}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 108) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 108]}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2} + 108$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 108) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 108]}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 108$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108])}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [108])}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.5

Karena $108$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $108$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.6.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Langkah 2.1.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Langkah 2.1.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Langkah 2.1.5

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Langkah 2.1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 108) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Langkah 2.1.6.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Langkah 2.1.6.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.3.1.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.3.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Langkah 2.1.6.3.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.3.1.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Langkah 2.1.6.3.1.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Langkah 2.1.6.3.1.1.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Langkah 2.1.6.3.1.2

Kalikan $2$ dengan $108$ .

$\frac{2 x^{3} + 216 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Langkah 2.1.6.3.2

Gabungkan suku balikan dalam $2 x^{3} + 216 x - 2 x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.3.2.1

Kurangi $2 x^{3}$ dengan $2 x^{3}$ .

$\frac{216 x + 0}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Langkah 2.1.6.3.2.2

Tambahkan $216 x$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{216 x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $216$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{216 x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$ terhadap $x$ adalah $216 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}]$ .

$216 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}]$

Langkah 2.2.2

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{({(x^{2} + 108)}^{2})}^{2}}$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Kalikan eksponen dalam ${({(x^{2} + 108)}^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{(x^{2} + 108)}^{2 \cdot 2}}$

Langkah 2.2.3.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Langkah 2.2.3.3

Kalikan ${(x^{2} + 108)}^{2}$ dengan $1$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = x^{2} + 108$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + 108$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Langkah 2.2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Langkah 2.2.4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 108$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - x (2 (x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Langkah 2.2.5.2

Faktorkan $x^{2} + 108$ dari ${(x^{2} + 108)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.2.1

Faktorkan $x^{2} + 108$ dari ${(x^{2} + 108)}^{2}$ .

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108) - 2 x ((x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Langkah 2.2.5.2.2

Faktorkan $x^{2} + 108$ dari $- 2 x ((x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])$ .

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108) + (x^{2} + 108) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Langkah 2.2.5.2.3

Faktorkan $x^{2} + 108$ dari $(x^{2} + 108) (x^{2} + 108) + (x^{2} + 108) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))$ .

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Langkah 2.2.6

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.1

Faktorkan $x^{2} + 108$ dari ${(x^{2} + 108)}^{4}$ .

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))}{(x^{2} + 108) {(x^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 2.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))}{(x^{2} + 108) {(x^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 2.2.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 2.2.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 108$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108]$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108])}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 2.2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [108])}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 2.2.9

Karena $108$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $108$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 2.2.10

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.10.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 2.2.10.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 2.2.11

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 2.2.12

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 2.2.13

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 2.2.14

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 2.2.15

Kurangi $4 x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$216 \frac{- 3 x^{2} + 108}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 2.2.16

Gabungkan $216$ dan $\frac{- 3 x^{2} + 108}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$ .

$\frac{216 (- 3 x^{2} + 108)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 2.2.17

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.17.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{216 (- 3 x^{2}) + 216 \cdot 108}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 2.2.17.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.17.2.1

Kalikan $- 3$ dengan $216$ .

$\frac{- 648 x^{2} + 216 \cdot 108}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 2.2.17.2.2

Kalikan $216$ dengan $108$ .

$\frac{- 648 x^{2} + 23328}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 2.2.17.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.17.3.1

Faktorkan $648$ dari $- 648 x^{2} + 23328$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.17.3.1.1

Faktorkan $648$ dari $- 648 x^{2}$ .

$\frac{648 (- x^{2}) + 23328}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 2.2.17.3.1.2

Faktorkan $648$ dari $23328$ .

$\frac{648 (- x^{2}) + 648 (36)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 2.2.17.3.1.3

Faktorkan $648$ dari $648 (- x^{2}) + 648 (36)$ .

$\frac{648 (- x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 2.2.17.3.2

Tulis kembali $36$ sebagai $6^{2}$ .

$\frac{648 (- x^{2} + 6^{2})}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 2.2.17.3.3

Susun kembali $- x^{2}$ dan $6^{2}$ .

$\frac{648 (6^{2} - x^{2})}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 2.2.17.3.4

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 6$ dan $b = x$ .

$f'' (x) = \frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 2.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$ .

$\frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$\frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}} = 0$

Langkah 3.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$648 (6 + x) (6 - x) = 0$

Langkah 3.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$6 + x = 0$

$6 - x = 0$

Langkah 3.3.2

Atur $6 + x$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Atur $6 + x$ sama dengan $0$ .

$6 + x = 0$

Langkah 3.3.2.2

Kurangkan $6$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 6$

Langkah 3.3.3

Atur $6 - x$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Atur $6 - x$ sama dengan $0$ .

$6 - x = 0$

Langkah 3.3.3.2

Selesaikan $6 - x = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.1

Kurangkan $6$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x = - 6$

Langkah 3.3.3.2.2

Bagi setiap suku pada $- x = - 6$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- x = - 6$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Langkah 3.3.3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Langkah 3.3.3.2.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 1}$

Langkah 3.3.3.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.2.3.1

Bagilah $- 6$ dengan $- 1$ .

$x = 6$

Langkah 3.3.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $648 (6 + x) (6 - x) = 0$ benar.

$x = - 6, 6$

Langkah 4

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $- 6$ dalam $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 6$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{{(- 6)}^{2} + 108}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Naikkan $- 6$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- 6) = \frac{36}{{(- 6)}^{2} + 108}$

Langkah 4.1.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Naikkan $- 6$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- 6) = \frac{36}{36 + 108}$

Langkah 4.1.2.2.2

Tambahkan $36$ dan $108$ .

$f (- 6) = \frac{36}{144}$

Langkah 4.1.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $36$ dan $144$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Faktorkan $36$ dari $36$ .

$f (- 6) = \frac{36 (1)}{144}$

Langkah 4.1.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.2.1

Faktorkan $36$ dari $144$ .

$f (- 6) = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

Langkah 4.1.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- 6) = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

Langkah 4.1.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- 6) = \frac{1}{4}$

Langkah 4.1.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Langkah 4.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $- 6$ dalam $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ adalah $(- 6, \frac{1}{4})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(- 6, \frac{1}{4})$

Langkah 4.3

Substitusikan $6$ dalam $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $6$ pada pernyataan tersebut.

$f (6) = \frac{{(6)}^{2}}{{(6)}^{2} + 108}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$f (6) = \frac{36}{6^{2} + 108}$

Langkah 4.3.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$f (6) = \frac{36}{36 + 108}$

Langkah 4.3.2.2.2

Tambahkan $36$ dan $108$ .

$f (6) = \frac{36}{144}$

Langkah 4.3.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $36$ dan $144$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.3.1

Faktorkan $36$ dari $36$ .

$f (6) = \frac{36 (1)}{144}$

Langkah 4.3.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.3.2.1

Faktorkan $36$ dari $144$ .

$f (6) = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

Langkah 4.3.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (6) = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

Langkah 4.3.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (6) = \frac{1}{4}$

Langkah 4.3.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Langkah 4.4

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $6$ dalam $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ adalah $(6, \frac{1}{4})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(6, \frac{1}{4})$

Langkah 4.5

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(- 6, \frac{1}{4}), (6, \frac{1}{4})$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 6) \cup (6, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 6)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 6.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 6.1) = \frac{648 (6 - 6.1) (6 - (- 6.1))}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f'' (- 6.1) = \frac{648 (6 - 6.1) (6 - (- 6.1))}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 6.1$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{648 (6 - 6.1) (6 + 6.1)}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 6.2.2.2

Kurangi $6.1$ dengan $6$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{648 \cdot (- 0.1 (6 + 6.1))}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 6.2.2.3

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.3.1

Kalikan $648$ dengan $- 0.1$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{- 64.8 (6 + 6.1)}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 6.2.2.3.2

Kalikan $- 64.8$ dengan $6 + 6.1$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{- 784.08}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 6.2.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Naikkan $- 6.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{- 784.08}{{(37.21 + 108)}^{3}}$

Langkah 6.2.3.2

Tambahkan $37.21$ dan $108$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{- 784.08}{{145.21}^{3}}$

Langkah 6.2.3.3

Naikkan $145.21$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{- 784.08}{3061889.942761}$

Langkah 6.2.4

Bagilah $- 784.08$ dengan $3061889.942761$ .

$f'' (- 6.1) = - 0.00025607$

Langkah 6.2.5

Jawaban akhirnya adalah $- 0.00025607$ .

$- 0.00025607$

Langkah 6.3

Pada $- 6.1$ , turunan kedua adalah $- 0.00025607$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty, - 6)$

Menurun pada $(- \infty, - 6)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 6, 6)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0) = \frac{648 (6 + 0) (6 - (0))}{{({(0)}^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f'' (0) = \frac{648 (6 + 0) (6 - (0))}{{({(0)}^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f'' (0) = \frac{648 (6 + 0) (6 + 0)}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 7.2.2.1.2

Naikkan $6 + 0$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (0) = \frac{648 ((6 + 0) (6 + 0))}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 7.2.2.1.3

Naikkan $6 + 0$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (0) = \frac{648 ((6 + 0) (6 + 0))}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 7.2.2.1.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (0) = \frac{648 {(6 + 0)}^{1 + 1}}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 7.2.2.1.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (0) = \frac{648 {(6 + 0)}^{2}}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 7.2.2.2

Tambahkan $6$ dan $0$ .

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 6^{2}}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 7.2.2.3

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 36}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 7.2.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 36}{{(0 + 108)}^{3}}$

Langkah 7.2.3.2

Tambahkan $0$ dan $108$ .

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 36}{108^{3}}$

Langkah 7.2.3.3

Naikkan $108$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 36}{1259712}$

Langkah 7.2.4

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.4.1

Kalikan $648$ dengan $36$ .

$f'' (0) = \frac{23328}{1259712}$

Langkah 7.2.4.2

Hapus faktor persekutuan dari $23328$ dan $1259712$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.4.2.1

Faktorkan $23328$ dari $23328$ .

$f'' (0) = \frac{23328 (1)}{1259712}$

Langkah 7.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.4.2.2.1

Faktorkan $23328$ dari $1259712$ .

$f'' (0) = \frac{23328 \cdot 1}{23328 \cdot 54}$

Langkah 7.2.4.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (0) = \frac{23328 \cdot 1}{23328 \cdot 54}$

Langkah 7.2.4.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (0) = \frac{1}{54}$

Langkah 7.2.5

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1}{54}$ .

$\frac{1}{54}$

Langkah 7.3

Pada $0$ , turunan keduanya adalah $0.0\overline{185}$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- 6, 6)$ .

Meningkat pada $(- 6, 6)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(6, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $6.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (6.1) = \frac{648 (6 + 6.1) (6 - (6.1))}{{({(6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f'' (6.1) = \frac{648 (6 + 6.1) (6 - (6.1))}{{({(6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $6.1$ .

$f'' (6.1) = \frac{648 (6 + 6.1) (6 - 6.1)}{{({6.1}^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 8.2.2.2

Tambahkan $6$ dan $6.1$ .

$f'' (6.1) = \frac{648 \cdot (12.1 (6 - 6.1))}{{({6.1}^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 8.2.2.3

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.3.1

Kalikan $648$ dengan $12.1$ .

$f'' (6.1) = \frac{7840.8 (6 - 6.1)}{{({6.1}^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 8.2.2.3.2

Kalikan $7840.8$ dengan $6 - 6.1$ .

$f'' (6.1) = \frac{- 784.07999999}{{({6.1}^{2} + 108)}^{3}}$

Langkah 8.2.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1

Naikkan $6.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (6.1) = \frac{- 784.07999999}{{(37.21 + 108)}^{3}}$

Langkah 8.2.3.2

Tambahkan $37.21$ dan $108$ .

$f'' (6.1) = \frac{- 784.07999999}{{145.21}^{3}}$

Langkah 8.2.3.3

Naikkan $145.21$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (6.1) = \frac{- 784.07999999}{3061889.942761}$

Langkah 8.2.4

Bagilah $- 784.07999999$ dengan $3061889.942761$ .

$f'' (6.1) = - 0.00025607$

Langkah 8.2.5

Jawaban akhirnya adalah $- 0.00025607$ .

$- 0.00025607$

Langkah 8.3

Pada $6.1$ , turunan kedua adalah $- 0.00025607$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(6, \infty)$

Menurun pada $(6, \infty)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 9

Titik belok adalah sebuah titik pada kurva di mana kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik-titik belok dalam kasus ini adalah $(- 6, \frac{1}{4}), (6, \frac{1}{4})$ .

$(- 6, \frac{1}{4}), (6, \frac{1}{4})$

Langkah 10