Kalkulus Contoh

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ dan $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 2 x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2.3

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2.5

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{x (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2.6

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x (2 x - 2 + 0) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2.7

Tambahkan $2 x - 2$ dan $0$ .

$\frac{x (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2.9

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{x (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1)}{x^{2}}$

Langkah 1.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - (x^{2} - 2 x + 1)}{x^{2}}$

Langkah 1.1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Langkah 1.1.3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Langkah 1.1.3.3.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Langkah 1.1.3.3.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Langkah 1.1.3.3.1.3

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 \cdot x - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Langkah 1.1.3.3.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Langkah 1.1.3.3.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2} + 2 x - 1}{x^{2}}$

Langkah 1.1.3.3.2

Gabungkan suku balikan dalam $2 x^{2} - 2 x - x^{2} + 2 x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.2.1

Tambahkan $- 2 x$ dan $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} + 0 - 1}{x^{2}}$

Langkah 1.1.3.3.2.2

Tambahkan $2 x^{2} - x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1}{x^{2}}$

Langkah 1.1.3.3.3

Kurangi $x^{2}$ dengan $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$

Langkah 1.1.3.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.4.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2}}$

Langkah 1.1.3.4.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$(x + 1) (x - 1) = 0$

Langkah 2.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Langkah 2.3.2

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 2.3.2.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 2.3.3

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 2.3.3.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 2.3.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 1) (x - 1) = 0$ benar.

$x = - 1, 1$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur penyebut dalam $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{2} = 0$

Langkah 3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 3.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 3.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 4

Evaluasi $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $- 1$ untuk $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1}{- 1}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{{(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1}{- 1}$ .

$- 1 \cdot ({(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1)$

Langkah 4.1.2.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot ({(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1)$ sebagai $- ({(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1)$ .

$- ({(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1)$

Langkah 4.1.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$- (1 - 2 \cdot - 1 + 1)$

Langkah 4.1.2.2.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$- (1 + 2 + 1)$

Langkah 4.1.2.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$- (3 + 1)$

Langkah 4.1.2.3.2

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$- 1 \cdot 4$

Langkah 4.1.2.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$- 4$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $1$ untuk $x$ .

$\frac{{(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1}{1}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Bagilah ${(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1$ dengan $1$ .

${(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1$

Langkah 4.2.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 - 2 \cdot 1 + 1$

Langkah 4.2.2.2.2

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$1 - 2 + 1$

Langkah 4.2.2.3

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.3.1

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$- 1 + 1$

Langkah 4.2.2.3.2

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$0$

Langkah 4.3

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$\frac{{(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 1}{0}$

Langkah 4.3.2

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 4.4

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(- 1, - 4), (1, 0)$

Langkah 5