Kalkulus Contoh

$\sum_{i = 5}^{24} 2 i^{2} - i + 3 + 8$

Langkah 1

Sederhanakan penjumlahannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tambahkan $3$ dan $8$ .

$2 i^{2} - i + 11$

Langkah 1.2

Tulis kembali penjumlahannya.

$\sum_{i = 5}^{24} 2 i^{2} - i + 11$

Langkah 2

Pisahkan penjumlahan untuk membuat nilai awal dari $i$ sama dengan $1$ .

$\sum_{i = 5}^{24} 2 i^{2} - i + 11 = \sum_{i = 1}^{24} 2 i^{2} - i + 11 - \sum_{i = 1}^{4} 2 i^{2} - i + 11$

Langkah 3

Evaluasi $\sum_{i = 1}^{24} 2 i^{2} - i + 11$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pisahkan penjumlahannya menjadi penjumlahan yang lebih kecil yang sesuai dengan kaidah penjumlahan.

$\sum_{k = 1}^{24} 2 i^{2} - i + 11 = 2 \sum_{k = 1}^{24} i^{2} - 1 \sum_{k = 1}^{24} i + \sum_{k = 1}^{24} 11$

Langkah 3.2

Evaluasi $2 \sum_{k = 1}^{24} i^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Rumus untuk penjumlahan polinomial dengan derajat $2$ adalah:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Langkah 3.2.2

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya dan pastikan untuk mengalikan dengan suku depannya.

$(2) (\frac{24 (24 + 1) (2 \cdot 24 + 1)}{6})$

Langkah 3.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1.1

Tambahkan $24$ dan $1$ .

$2 \frac{24 \cdot 25 (2 \cdot 24 + 1)}{6}$

Langkah 3.2.3.1.2

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1.2.1

Kalikan $24$ dengan $25$ .

$2 \frac{600 (2 \cdot 24 + 1)}{6}$

Langkah 3.2.3.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $24$ .

$2 \frac{600 (48 + 1)}{6}$

Langkah 3.2.3.1.3

Tambahkan $48$ dan $1$ .

$2 \frac{600 \cdot 49}{6}$

Langkah 3.2.3.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.2.1

Kalikan $600$ dengan $49$ .

$2 (\frac{29400}{6})$

Langkah 3.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$2 \frac{29400}{2 (3)}$

Langkah 3.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{29400}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.2.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{29400}{3}$

Langkah 3.2.3.2.3

Bagilah $29400$ dengan $3$ .

$9800$

Langkah 3.3

Evaluasi $1 \sum_{k = 1}^{24} i$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Rumus untuk penjumlahan polinomial dengan derajat $1$ adalah:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Langkah 3.3.2

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya dan pastikan untuk mengalikan dengan suku depannya.

$(- 1) (\frac{24 (24 + 1)}{2})$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Tambahkan $24$ dan $1$ .

$- 1 \frac{24 \cdot 25}{2}$

Langkah 3.3.3.2

Kalikan $24$ dengan $25$ .

$- 1 (\frac{600}{2})$

Langkah 3.3.3.3

Bagilah $600$ dengan $2$ .

$- 1 \cdot 300$

Langkah 3.3.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $300$ .

$- 300$

Langkah 3.4

Evaluasi $\sum_{k = 1}^{24} 11$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Rumus untuk penjumlahan konstanta adalah:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Langkah 3.4.2

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya.

$(11) (24)$

Langkah 3.4.3

Kalikan $11$ dengan $24$ .

$264$

Langkah 3.5

Jumlahkan hasil penjumlahan.

$9800 - 300 + 264$

Langkah 3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Kurangi $300$ dengan $9800$ .

$9500 + 264$

Langkah 3.6.2

Tambahkan $9500$ dan $264$ .

$9764$

Langkah 4

Evaluasi $\sum_{i = 1}^{4} 2 i^{2} - i + 11$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Perluas barisan untuk setiap nilai dari $i$ .

$2 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Naikkan $1$ menjadi pangkat $2$ .

$2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Langkah 4.2.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 - 1 \cdot 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Langkah 4.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$2 - 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Langkah 4.2.4

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Langkah 4.2.5

Tambahkan $1$ dan $11$ .

$12 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Langkah 4.2.6

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$12 + 2 \cdot 4 - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Langkah 4.2.7

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$12 + 8 - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Langkah 4.2.8

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$12 + 8 - 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Langkah 4.2.9

Kurangi $2$ dengan $8$ .

$12 + 6 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Langkah 4.2.10

Tambahkan $6$ dan $11$ .

$12 + 17 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Langkah 4.2.11

Tambahkan $12$ dan $17$ .

$29 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Langkah 4.2.12

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$29 + 2 \cdot 9 - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Langkah 4.2.13

Kalikan $2$ dengan $9$ .

$29 + 18 - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Langkah 4.2.14

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$29 + 18 - 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Langkah 4.2.15

Kurangi $3$ dengan $18$ .

$29 + 15 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Langkah 4.2.16

Tambahkan $15$ dan $11$ .

$29 + 26 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Langkah 4.2.17

Tambahkan $29$ dan $26$ .

$55 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Langkah 4.2.18

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$55 + 2 \cdot 16 - 1 \cdot 4 + 11$

Langkah 4.2.19

Kalikan $2$ dengan $16$ .

$55 + 32 - 1 \cdot 4 + 11$

Langkah 4.2.20

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$55 + 32 - 4 + 11$

Langkah 4.2.21

Kurangi $4$ dengan $32$ .

$55 + 28 + 11$

Langkah 4.2.22

Tambahkan $28$ dan $11$ .

$55 + 39$

Langkah 4.2.23

Tambahkan $55$ dan $39$ .

$94$

Langkah 5

Substitusikan penjumlahannya dengan nilai yang ditemukan.

$9764 - 94$

Langkah 6

Kurangi $94$ dengan $9764$ .

$9670$