Kalkulus Contoh

$\frac{x + 9}{x^{2} - 81}$

Langkah 1

Tulis $\frac{x + 9}{x^{2} - 81}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{x + 9}{x^{2} - 81}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x + 9$ dan $g (x) = x^{2} - 81$ .

$\frac{(x^{2} - 81) \frac{d}{d x} [x + 9] - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 9$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{(x^{2} - 81) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 81) (1 + \frac{d}{d x} [9]) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.3

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(x^{2} - 81) (1 + 0) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{(x^{2} - 81) \cdot 1 - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.4.2

Kalikan $x^{2} - 81$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 81$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81])}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- 81])}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.7

Karena $- 81$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 81$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.8.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.8.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 (x + 9) x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Langkah 2.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} - 81 + (- 2 x - 2 \cdot 9) x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.3.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.3.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x^{2} - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.3.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $9$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x^{2} - 18 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.3.2

Kurangi $2 x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 81 - 18 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- x^{2} - 18 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.5

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.5.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = - 1 \cdot - 81 = 81$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 18$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.5.1.1

Faktorkan $- 18$ dari $- 18 x$ .

$\frac{- x^{2} - 18 (x) - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.5.1.2

Tulis kembali $- 18$ sebagai $- 9$ ditambah $- 9$

$\frac{- x^{2} + (- 9 - 9) x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.5.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- x^{2} - 9 x - 9 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.5.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.5.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$\frac{(- x^{2} - 9 x) - 9 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.5.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$\frac{x (- x - 9) + 9 (- x - 9)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.5.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $- x - 9$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.6

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.6.1

Tulis kembali $81$ sebagai $9^{2}$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x^{2} - 9^{2})}^{2}}$

Langkah 2.1.3.6.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 9$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{((x + 9) (x - 9))}^{2}}$

Langkah 2.1.3.6.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $(x + 9) (x - 9)$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.7.1

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$\frac{(- (x) - 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.7.2

Tulis kembali $- 9$ sebagai $- 1 (9)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (9)) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.7.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - 1 (9)$ .

$\frac{- (x + 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.7.4

Tulis kembali $- (x + 9)$ sebagai $- 1 (x + 9)$ .

$\frac{- 1 (x + 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.7.5

Naikkan $x + 9$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 9)}^{1} (x + 9))}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.7.6

Naikkan $x + 9$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 9)}^{1} {(x + 9)}^{1})}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.7.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{1 + 1}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.7.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{2}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.8

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x + 9)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.8.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{2}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.8.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{{(x - 9)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} = 0$

Langkah 3.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$1 = 0$

Langkah 3.3

Karena $1 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 4

Tidak ada nilai dari $x$ di domain soal awal yang nilai-turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Tidak ditemukan titik kritis

Langkah 5

Tentukan di mana turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur penyebut dalam $\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

${(x - 9)}^{2} = 0$

Langkah 5.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Atur $x - 9$ agar sama dengan $0$ .

$x - 9 = 0$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $9$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 9$

Langkah 6

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = - \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = \frac{x + 9}{x^{2} - 81}$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, 9) \cup (9, \infty)$ .

$(- \infty, 9) \cup (9, \infty)$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 9)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $8$ pada pernyataan tersebut.

$f' (8) = - \frac{1}{{((8) - 9)}^{2}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Kurangi $9$ dengan $8$ .

$f' (8) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Langkah 7.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (8) = - \frac{1}{1}$

Langkah 7.2.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (8) = - \frac{1}{1}$

Langkah 7.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (8) = - 1 \cdot 1$

Langkah 7.2.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (8) = - 1$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 1$ .

$- 1$

Langkah 7.3

Pada $x = 8$ , turunannya adalah $- 1$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, 9)$ .

Menurun pada $(- \infty, 9)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(9, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $10$ pada pernyataan tersebut.

$f' (10) = - \frac{1}{{((10) - 9)}^{2}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Kurangi $9$ dengan $10$ .

$f' (10) = - \frac{1}{1^{2}}$

Langkah 8.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (10) = - \frac{1}{1}$

Langkah 8.2.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (10) = - \frac{1}{1}$

Langkah 8.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (10) = - 1 \cdot 1$

Langkah 8.2.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (10) = - 1$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 1$ .

$- 1$

Langkah 8.3

Pada $x = 10$ , turunannya adalah $- 1$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(9, \infty)$ .

Menurun pada $(9, \infty)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 9

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Menurun pada: $(- \infty, 9), (9, \infty)$

Langkah 10