Kalkulus Contoh

$x e^{- 5 x}$

Langkah 1

Tulis $x e^{- 5 x}$ sebagai fungsi.

$f (x) = x e^{- 5 x}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int x e^{- 5 x} d x$

Langkah 4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{- 5 x}$ .

$x (- \frac{1}{5} e^{- 5 x}) - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $e^{- 5 x}$ dan $\frac{1}{5}$ .

$x (- \frac{e^{- 5 x}}{5}) - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

Langkah 5.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{e^{- 5 x}}{5}$ .

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

Langkah 6

Karena $- \frac{1}{5}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- \frac{1}{5}$ keluar dari integral.

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - (- \frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} + 1 (\frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x)$

Langkah 7.2

Kalikan $\frac{1}{5}$ dengan $1$ .

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x$

Langkah 8

Biarkan $u = - 5 x$ . Kemudian $d u = - 5 d x$ sehingga $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan $u = - 5 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$

Langkah 8.1.2

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 x$ terhadap $x$ adalah $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1$

Langkah 8.1.4

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$- 5$

Langkah 8.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{- 5} d u$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{u} (- \frac{1}{5}) d u$

Langkah 9.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int - \frac{e^{u}}{5} d u$

Langkah 10

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} (- \int \frac{e^{u}}{5} d u)$

Langkah 11

Karena $\frac{1}{5}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{5}$ keluar dari integral.

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} (- (\frac{1}{5} \int e^{u} d u))$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Kalikan $\frac{1}{5}$ dengan $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Langkah 12.2

Kalikan $5$ dengan $5$ .

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u$

Langkah 13

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)$

Langkah 14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Tulis kembali $- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)$ sebagai $- \frac{1}{5} x e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$ .

$- \frac{1}{5} x e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

Langkah 14.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{x}{5} e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

Langkah 14.2.2

Gabungkan $e^{- 5 x}$ dan $\frac{x}{5}$ .

$- \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

Langkah 15

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 5 x$ .

$- \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

Langkah 16

Gabungkan $e^{- 5 x}$ dan $\frac{1}{25}$ .

$- \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$

Langkah 17

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{1}{5} e^{- 5 x} x - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

Langkah 18

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = x e^{- 5 x}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{5} e^{- 5 x} x - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$