Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 x)}{\cos (x)}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Langkah 1.2.1.2

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Langkah 1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{2}$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\sin (2 \frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sin (2 \frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Langkah 1.2.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sin (π)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Langkah 1.2.3.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Langkah 1.2.3.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Langkah 1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{2}$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{2})}$

Langkah 1.3.3

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 x)}{\cos (x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Langkah 3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Langkah 3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Langkah 3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cdot \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Langkah 3.7

Kalikan $2$ dengan $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Langkah 3.8

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos (2 x)}{- \sin (x)}$

Langkah 4

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (2 x)}{- \sin (x)}$

Langkah 5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\frac{π}{2}$ .

$2 \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - \sin (x)}$

Langkah 6

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$2 \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - \sin (x)}$

Langkah 7

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 \frac{\cos (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - \sin (x)}$

Langkah 8

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 \frac{\cos (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{- lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

Langkah 9

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$2 \frac{\cos (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{- \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Langkah 10

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $\frac{π}{2}$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{2}$ ke dalam (Variabel2).

$2 \frac{\cos (2 \frac{π}{2})}{- \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Langkah 10.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{2}$ ke dalam (Variabel2).

$2 \frac{\cos (2 \frac{π}{2})}{- \sin (\frac{π}{2})}$

Langkah 11

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{\cos (2 \frac{π}{2})}{- \sin (\frac{π}{2})}$

Langkah 11.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 \frac{\cos (π)}{- \sin (\frac{π}{2})}$

Langkah 11.1.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$2 \frac{- \cos (0)}{- \sin (\frac{π}{2})}$

Langkah 11.1.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$2 \frac{- 1 \cdot 1}{- \sin (\frac{π}{2})}$

Langkah 11.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$2 \frac{- 1}{- \sin (\frac{π}{2})}$

Langkah 11.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$2 \frac{- 1}{- 1 \cdot 1}$

Langkah 11.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$2 (\frac{- 1}{- 1})$

Langkah 11.4

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$2 (\frac{1}{1})$

Langkah 11.5

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (\frac{1}{1})$

Langkah 11.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 \cdot 1$

Langkah 11.6

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$