Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{7 e^{\frac{x}{4}}}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} 7 e^{\frac{x}{4}}}$

Langkah 1.2

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 7 e^{\frac{x}{4}}}$

Langkah 1.3

Karena fungsi $e^{\frac{1}{4} x}$ mendekati $\infty$ , konstanta positif $7$ kali fungsi juga mendekati $\infty$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Pertimbangkan batasnya dengan kelipatan tetap $7$ dihapus.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{4} x}}$

Langkah 1.3.2

Karena eksponen $\frac{1}{4} x$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{\frac{1}{4} x}$ mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 1.3.3

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{7 e^{\frac{x}{4}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{\frac{x}{4}}]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{\frac{x}{4}}]}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [7 e^{\frac{x}{4}}]}$

Langkah 3.3

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7 e^{\frac{x}{4}}$ terhadap $x$ adalah $7 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = \frac{x}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x}{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}])}$

Langkah 3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}])}$

Langkah 3.4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 (e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}])}$

Langkah 3.5

Hilangkan tanda kurung.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

Langkah 3.6

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 e^{\frac{x}{4}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])}$

Langkah 3.7

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{7}{4} e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.8

Gabungkan $\frac{7}{4}$ dan $e^{\frac{x}{4}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{7 e^{\frac{x}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{7 e^{\frac{x}{4}}}{4} \cdot 1}$

Langkah 3.10

Kalikan $\frac{7 e^{\frac{x}{4}}}{4}$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{7 e^{\frac{x}{4}}}{4}}$

Langkah 4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to \infty} 3 x^{2} \frac{4}{7 e^{\frac{x}{4}}}$

Langkah 5

Gabungkan faktor-faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{4}{7 e^{\frac{x}{4}}}$ .

$lim_{x \to \infty} x^{2} \frac{3 \cdot 4}{7 e^{\frac{x}{4}}}$

Langkah 5.2

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$lim_{x \to \infty} x^{2} \frac{12}{7 e^{\frac{x}{4}}}$

Langkah 5.3

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{12}{7 e^{\frac{x}{4}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} \cdot 12}{7 e^{\frac{x}{4}}}$

Langkah 6

Pindahkan suku $\frac{12}{7}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{\frac{x}{4}}}$

Langkah 7

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{12}{7} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{4}}}$

Langkah 7.1.2

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$\frac{12}{7} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{4}}}$

Langkah 7.1.3

Karena eksponen $\frac{x}{4}$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{\frac{x}{4}}$ mendekati $\infty$ .

$\frac{12}{7} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Langkah 7.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{12}{7} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Langkah 7.2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{\frac{x}{4}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

Langkah 7.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

Langkah 7.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

Langkah 7.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = \frac{x}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x}{4}$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

Langkah 7.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

Langkah 7.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{4}$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

Langkah 7.3.4

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 7.3.5

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $e^{\frac{x}{4}}$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 7.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} \cdot 1}$

Langkah 7.3.7

Kalikan $\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}$ dengan $1$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}}$

Langkah 7.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} 2 x \frac{4}{e^{\frac{x}{4}}}$

Langkah 7.5

Gabungkan faktor-faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{4}{e^{\frac{x}{4}}}$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} x \frac{2 \cdot 4}{e^{\frac{x}{4}}}$

Langkah 7.5.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} x \frac{8}{e^{\frac{x}{4}}}$

Langkah 7.5.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{8}{e^{\frac{x}{4}}}$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot 8}{e^{\frac{x}{4}}}$

Langkah 8

Pindahkan suku $8$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{\frac{x}{4}}}$

Langkah 9

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{12}{7} \cdot 8 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{4}}}$

Langkah 9.1.2

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$\frac{12}{7} \cdot 8 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{4}}}$

Langkah 9.1.3

Karena eksponen $\frac{x}{4}$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{\frac{x}{4}}$ mendekati $\infty$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 \frac{\infty}{\infty}$

Langkah 9.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{12}{7} \cdot 8 \frac{\infty}{\infty}$

Langkah 9.2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{\frac{x}{4}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

Langkah 9.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

Langkah 9.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

Langkah 9.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = \frac{x}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x}{4}$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

Langkah 9.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

Langkah 9.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{4}$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

Langkah 9.3.4

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 9.3.5

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $e^{\frac{x}{4}}$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 9.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} \cdot 1}$

Langkah 9.3.7

Kalikan $\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}$ dengan $1$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}}$

Langkah 9.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} 1 \frac{4}{e^{\frac{x}{4}}}$

Langkah 9.5

Kalikan $\frac{4}{e^{\frac{x}{4}}}$ dengan $1$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{4}{e^{\frac{x}{4}}}$

Langkah 10

Pindahkan suku $4$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{4}}}$

Langkah 11

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{e^{\frac{x}{4}}}$ mendekati $0$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 \cdot 4 \cdot 0$

Langkah 12

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Kalikan $\frac{12}{7} \cdot 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Gabungkan $\frac{12}{7}$ dan $8$ .

$\frac{12 \cdot 8}{7} \cdot 4 \cdot 0$

Langkah 12.1.2

Kalikan $12$ dengan $8$ .

$\frac{96}{7} \cdot 4 \cdot 0$

Langkah 12.2

Kalikan $\frac{96}{7} \cdot 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Gabungkan $\frac{96}{7}$ dan $4$ .

$\frac{96 \cdot 4}{7} \cdot 0$

Langkah 12.2.2

Kalikan $96$ dengan $4$ .

$\frac{384}{7} \cdot 0$

Langkah 12.3

Kalikan $\frac{384}{7}$ dengan $0$ .

$0$