Kalkulus Contoh

$f (x) = 3 x^{7} - 16 x^{3} - \frac{1}{3 x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{7} - 16 x^{3} - \frac{1}{3 x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x}]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{7}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{7}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 7$ .

$3 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x}]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $7$ dengan $3$ .

$21 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 16 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$21 x^{6} - 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$21 x^{6} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x}]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $3$ dengan $- 16$ .

$21 x^{6} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x}]$

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $- \frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{1}{3 x}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$21 x^{6} - 48 x^{2} - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Langkah 1.4.2

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$21 x^{6} - 48 x^{2} - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Langkah 1.4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$21 x^{6} - 48 x^{2} - \frac{1}{3} (- x^{- 2})$

Langkah 1.4.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$21 x^{6} - 48 x^{2} + 1 (\frac{1}{3}) x^{- 2}$

Langkah 1.4.5

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$21 x^{6} - 48 x^{2} + \frac{1}{3} x^{- 2}$

Langkah 1.4.6

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{- 2}$ .

$21 x^{6} - 48 x^{2} + \frac{x^{- 2}}{3}$

Langkah 1.4.7

Pindahkan $x^{- 2}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 21 x^{6} - 48 x^{2} + \frac{1}{3 x^{2}}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $21 x^{6} - 48 x^{2} + \frac{1}{3 x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [21 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [21 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [21 x^{6}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $21$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $21 x^{6}$ terhadap $x$ adalah $21 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$21 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 6$ .

$21 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $6$ dengan $21$ .

$126 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 48$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 48 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$126 x^{5} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$126 x^{5} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 48$ .

$126 x^{5} - 96 x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{3 x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$126 x^{5} - 96 x + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Langkah 2.4.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{2}}$ sebagai ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$126 x^{5} - 96 x + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Langkah 2.4.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2}$ .

$126 x^{5} - 96 x + \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.4.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$126 x^{5} - 96 x + \frac{1}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.4.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$126 x^{5} - 96 x + \frac{1}{3} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.4.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$126 x^{5} - 96 x + \frac{1}{3} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Langkah 2.4.5

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$126 x^{5} - 96 x + \frac{1}{3} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Langkah 2.4.5.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$126 x^{5} - 96 x + \frac{1}{3} (- x^{- 4} (2 x))$

Langkah 2.4.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$126 x^{5} - 96 x + \frac{1}{3} (- 2 x^{- 4} x)$

Langkah 2.4.7

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$126 x^{5} - 96 x + \frac{1}{3} (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Langkah 2.4.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$126 x^{5} - 96 x + \frac{1}{3} (- 2 x^{1 - 4})$

Langkah 2.4.9

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$126 x^{5} - 96 x + \frac{1}{3} (- 2 x^{- 3})$

Langkah 2.4.10

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{3}$ .

$126 x^{5} - 96 x + \frac{- 2}{3} x^{- 3}$

Langkah 2.4.11

Gabungkan $\frac{- 2}{3}$ dan $x^{- 3}$ .

$126 x^{5} - 96 x + \frac{- 2 x^{- 3}}{3}$

Langkah 2.4.12

Pindahkan $x^{- 3}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$126 x^{5} - 96 x + \frac{- 2}{3 x^{3}}$

Langkah 2.4.13

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = 126 x^{5} - 96 x - \frac{2}{3 x^{3}}$

Langkah 3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $126 x^{5} - 96 x - \frac{2}{3 x^{3}}$ .

$126 x^{5} - 96 x - \frac{2}{3 x^{3}}$