Kalkulus Contoh

$2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Langkah 1

Tulis $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Langkah 2.1.2.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Langkah 2.1.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 2.1.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 2.1.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 2.1.3.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Langkah 2.1.4

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Langkah 2.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 \cos (x) \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Langkah 2.2.2.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Langkah 2.2.2.4

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Langkah 2.2.2.5

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Langkah 2.2.2.6

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Langkah 2.2.2.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Langkah 2.2.2.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Langkah 2.2.2.9

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Langkah 2.2.2.10

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Langkah 2.2.2.11

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Langkah 2.2.2.12

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Langkah 2.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 2.2.3.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$- 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

Langkah 2.2.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

Langkah 2.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

Langkah 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$

Langkah 3.2

Gambarkan setiap sisi persamaan. Penyelesaiannya adalah nilai x dari titik perpotongan.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $\frac{π}{3}$ dalam $f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (\frac{π}{3}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Langkah 4.1.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{π}{3}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Langkah 4.1.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Langkah 4.1.2.1.3

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 4.1.2.1.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Langkah 4.1.2.1.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1}{2^{2}}$

Langkah 4.1.2.1.6

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1}{4}$

Langkah 4.1.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Langkah 4.1.2.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4 + 1}{4}$

Langkah 4.1.2.2.3

Tambahkan $4$ dan $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{5}{4}$

Langkah 4.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{5}{4}$ .

$\frac{5}{4}$

Langkah 4.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $\frac{π}{3}$ dalam $f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ adalah $(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, \frac{π}{3}) \cup (\frac{π}{3}, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, \frac{π}{3})$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.94719755$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.94719755) = - 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$

Langkah 6.2

Jawaban akhirnya adalah $- 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$ .

$- 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$

Langkah 6.3

Pada $0.94719755$ , turunan kedua adalah $- 0.53195951$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty, \frac{π}{3})$

Menurun pada $(- \infty, \frac{π}{3})$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{π}{3}, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1.14719755$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (1.14719755) = - 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$

Langkah 7.2

Jawaban akhirnya adalah $- 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$ .

$- 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$

Langkah 7.3

Pada $1.14719755$ , turunan keduanya adalah $0.50208433$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(\frac{π}{3}, \infty)$ .

Meningkat pada $(\frac{π}{3}, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 8

Titik belok adalah titik pada kurva ketika kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik belok dalam kasus ini adalah $(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ .

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$

Langkah 9