Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x + 10}{x^{2}}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x + 10$ dan $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 10] - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 10] - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Langkah 1.1.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 10] - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 1.1.2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 10$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 1.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [10]) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 1.1.2.4

Karena $10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $10$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x^{2} (1 + 0) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 1.1.2.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.5.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1 - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 1.1.2.5.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 1.1.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - (x + 10) (2 x)}{x^{4}}$

Langkah 1.1.2.7

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.7.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 2 (x + 10) x}{x^{4}}$

Langkah 1.1.2.7.2

Faktorkan $x$ dari $x^{2} - 2 (x + 10) x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.7.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 2 (x + 10) x}{x^{4}}$

Langkah 1.1.2.7.2.2

Faktorkan $x$ dari $- 2 (x + 10) x$ .

$\frac{x \cdot x + x (- 2 (x + 10))}{x^{4}}$

Langkah 1.1.2.7.2.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x + x (- 2 (x + 10))$ .

$\frac{x (x - 2 (x + 10))}{x^{4}}$

Langkah 1.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{4}$ .

$\frac{x (x - 2 (x + 10))}{x \cdot x^{3}}$

Langkah 1.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x (x - 2 (x + 10))}{x \cdot x^{3}}$

Langkah 1.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x - 2 (x + 10)}{x^{3}}$

Langkah 1.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x - 2 x - 2 \cdot 10}{x^{3}}$

Langkah 1.1.4.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1

Kalikan $- 2$ dengan $10$ .

$\frac{x - 2 x - 20}{x^{3}}$

Langkah 1.1.4.2.2

Kurangi $2 x$ dengan $x$ .

$\frac{- x - 20}{x^{3}}$

Langkah 1.1.4.3

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$\frac{- (x) - 20}{x^{3}}$

Langkah 1.1.4.4

Tulis kembali $- 20$ sebagai $- 1 (20)$ .

$\frac{- (x) - 1 (20)}{x^{3}}$

Langkah 1.1.4.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - 1 (20)$ .

$\frac{- (x + 20)}{x^{3}}$

Langkah 1.1.4.6

Tulis kembali $- (x + 20)$ sebagai $- 1 (x + 20)$ .

$\frac{- 1 (x + 20)}{x^{3}}$

Langkah 1.1.4.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = - \frac{x + 20}{x^{3}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{x + 20}{x^{3}}$ .

$- \frac{x + 20}{x^{3}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{x + 20}{x^{3}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{x + 20}{x^{3}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$x + 20 = 0$

Langkah 2.3

Kurangkan $20$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 20$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $- 20$ .

$- 20$

Langkah 4

Tentukan di mana turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur penyebut dalam $\frac{x + 20}{x^{3}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{3} = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \sqrt[3]{0}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan $\sqrt[3]{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Langkah 4.2.2.2

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$x = 0$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 20) \cup (- 20, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 20)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 21$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 21) = - \frac{(- 21) + 20}{{(- 21)}^{3}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Tambahkan $- 21$ dan $20$ .

$f' (- 21) = - \frac{- 1}{{(- 21)}^{3}}$

Langkah 6.2.1.2

Naikkan $- 21$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- 21) = - \frac{- 1}{- 9261}$

Langkah 6.2.2

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$f' (- 21) = - \frac{1}{9261}$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{1}{9261}$ .

$- \frac{1}{9261}$

Langkah 6.3

Pada $x = - 21$ , turunannya adalah $- \frac{1}{9261}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, - 20)$ .

Menurun pada $(- \infty, - 20)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 20, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 10$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 10) = - \frac{(- 10) + 20}{{(- 10)}^{3}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Tambahkan $- 10$ dan $20$ .

$f' (- 10) = - \frac{10}{{(- 10)}^{3}}$

Langkah 7.2.1.2

Naikkan $- 10$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- 10) = - \frac{10}{- 1000}$

Langkah 7.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $10$ dan $- 1000$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Faktorkan $10$ dari $10$ .

$f' (- 10) = - \frac{10 (1)}{- 1000}$

Langkah 7.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1

Faktorkan $10$ dari $- 1000$ .

$f' (- 10) = - \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot - 100}$

Langkah 7.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (- 10) = - \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot - 100}$

Langkah 7.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (- 10) = - \frac{1}{- 100}$

Langkah 7.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- 10) = \frac{1}{100}$

Langkah 7.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1}{100}$ .

$\frac{1}{100}$

Langkah 7.3

Pada $x = - 10$ , turunannya adalah $\frac{1}{100}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- 20, 0)$ .

Meningkat pada $(- 20, 0)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = - \frac{(1) + 20}{{(1)}^{3}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Tambahkan $1$ dan $20$ .

$f' (1) = - \frac{21}{1^{3}}$

Langkah 8.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = - \frac{21}{1}$

Langkah 8.2.3

Bagilah $21$ dengan $1$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 21$

Langkah 8.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $21$ .

$f' (1) = - 21$

Langkah 8.2.5

Jawaban akhirnya adalah $- 21$ .

$- 21$

Langkah 8.3

Pada $x = 1$ , turunannya adalah $- 21$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(0, \infty)$ .

Menurun pada $(0, \infty)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 9

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- 20, 0)$

Menurun pada: $(- \infty, - 20), (0, \infty)$

Langkah 10