Kalkulus Contoh

$y = x - x^{2}$ , $y = 0$

Langkah 1

Untuk menghitung volume benda padat, pertama-tama tetapkan daerah dari setiap potongan kemudian integralkan di seluruh jangkauan. Daerah dari setiap potongan adalah daerah lingkaran dengan jari-jari $f (x)$ dan $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ di mana $f (x) = - x^{2} + x$

Langkah 2

Sederhanakan integrannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali ${(- x^{2} + x)}^{2}$ sebagai $(- x^{2} + x) (- x^{2} + x)$ .

$V = (- x^{2} + x) (- x^{2} + x)$

Langkah 2.2

Perluas $(- x^{2} + x) (- x^{2} + x)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$V = - x^{2} (- x^{2} + x) + x (- x^{2} + x)$

Langkah 2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} x + x (- x^{2} + x)$

Langkah 2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Langkah 2.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Langkah 2.3.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Langkah 2.3.1.2.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{4}) - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Langkah 2.3.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$V = 1 x^{4} - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Langkah 2.3.1.4

Kalikan $x^{4}$ dengan $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} x + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Langkah 2.3.1.5

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.5.1

Pindahkan $x$ .

$V = x^{4} - (x \cdot x^{2}) + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Langkah 2.3.1.5.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.5.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$V = x^{4} - (x \cdot x^{2}) + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Langkah 2.3.1.5.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$V = x^{4} - x^{1 + 2} + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Langkah 2.3.1.5.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$V = x^{4} - x^{3} + x (- x^{2}) + x \cdot x$

Langkah 2.3.1.6

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$V = x^{4} - x^{3} - x \cdot x^{2} + x \cdot x$

Langkah 2.3.1.7

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.7.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$V = x^{4} - x^{3} - (x^{2} x) + x \cdot x$

Langkah 2.3.1.7.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.7.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$V = x^{4} - x^{3} - (x^{2} x) + x \cdot x$

Langkah 2.3.1.7.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$V = x^{4} - x^{3} - x^{2 + 1} + x \cdot x$

Langkah 2.3.1.7.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$V = x^{4} - x^{3} - x^{3} + x \cdot x$

Langkah 2.3.1.8

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$V = x^{4} - x^{3} - x^{3} + x^{2}$

Langkah 2.3.2

Kurangi $x^{3}$ dengan $- x^{3}$ .

$V = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$V = π (\int_{0}^{1} x^{4} d x + \int_{0}^{1} - 2 x^{3} d x + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 x^{3} d x + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Langkah 5

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $x^{5}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 x^{3} d x + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Langkah 6

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} x^{3} d x + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Langkah 8

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{4}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1})$

Langkah 10

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Gabungkan $\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}$ dan $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5} + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}))$

Langkah 10.1.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}))$

Langkah 10.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Evaluasi $\frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{3}}{3}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + \frac{1^{3}}{3}) - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}))$

Langkah 10.2.2

Evaluasi $\frac{x^{4}}{4}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + \frac{1^{3}}{3}) - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Langkah 10.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$V = π (\frac{1}{5} + \frac{1^{3}}{3} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Langkah 10.2.3.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$V = π (\frac{1}{5} + \frac{1}{3} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Langkah 10.2.3.3

Untuk menuliskan $\frac{1}{5}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Langkah 10.2.3.4

Untuk menuliskan $\frac{1}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Langkah 10.2.3.5

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $15$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.5.1

Kalikan $\frac{1}{5}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{3}{5 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Langkah 10.2.3.5.2

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$V = π (\frac{3}{15} + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Langkah 10.2.3.5.3

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{3}{15} + \frac{5}{3 \cdot 5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Langkah 10.2.3.5.4

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$V = π (\frac{3}{15} + \frac{5}{15} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Langkah 10.2.3.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (\frac{3 + 5}{15} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Langkah 10.2.3.7

Tambahkan $3$ dan $5$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Langkah 10.2.3.8

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (\frac{0}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Langkah 10.2.3.9

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.9.1

Faktorkan $5$ dari $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (\frac{5 (0)}{5} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Langkah 10.2.3.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.9.2.1

Faktorkan $5$ dari $5$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Langkah 10.2.3.9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (\frac{8}{15} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Langkah 10.2.3.9.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (\frac{8}{15} - (\frac{0}{1} + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Langkah 10.2.3.9.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + \frac{0^{3}}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Langkah 10.2.3.10

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + \frac{0}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Langkah 10.2.3.11

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.11.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + \frac{3 (0)}{3}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Langkah 10.2.3.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.11.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Langkah 10.2.3.11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Langkah 10.2.3.11.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + \frac{0}{1}) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Langkah 10.2.3.11.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$V = π (\frac{8}{15} - (0 + 0) - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Langkah 10.2.3.12

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - 0 - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Langkah 10.2.3.13

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} + 0 - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Langkah 10.2.3.14

Tambahkan $\frac{8}{15}$ dan $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - 2 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}))$

Langkah 10.2.3.15

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Langkah 10.2.3.16

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - \frac{0}{4}))$

Langkah 10.2.3.17

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.17.1

Faktorkan $4$ dari $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - \frac{4 (0)}{4}))$

Langkah 10.2.3.17.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.17.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

Langkah 10.2.3.17.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

Langkah 10.2.3.17.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - \frac{0}{1}))$

Langkah 10.2.3.17.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} - 0))$

Langkah 10.2.3.18

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4} + 0))$

Langkah 10.2.3.19

Tambahkan $\frac{1}{4}$ dan $0$ .

$V = π (\frac{8}{15} - 2 (\frac{1}{4}))$

Langkah 10.2.3.20

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{4}$ .

$V = π (\frac{8}{15} + \frac{- 2}{4})$

Langkah 10.2.3.21

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.21.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$V = π (\frac{8}{15} + \frac{2 (- 1)}{4})$

Langkah 10.2.3.21.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.21.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$V = π (\frac{8}{15} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2})$

Langkah 10.2.3.21.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (\frac{8}{15} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2})$

Langkah 10.2.3.21.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (\frac{8}{15} + \frac{- 1}{2})$

Langkah 10.2.3.22

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$V = π (\frac{8}{15} - \frac{1}{2})$

Langkah 10.2.3.23

Untuk menuliskan $\frac{8}{15}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{8}{15} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Langkah 10.2.3.24

Untuk menuliskan $- \frac{1}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{15}{15}$ .

$V = π (\frac{8}{15} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{15})$

Langkah 10.2.3.25

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $30$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.25.1

Kalikan $\frac{8}{15}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{8 \cdot 2}{15 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{15})$

Langkah 10.2.3.25.2

Kalikan $15$ dengan $2$ .

$V = π (\frac{8 \cdot 2}{30} - \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{15})$

Langkah 10.2.3.25.3

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{15}{15}$ .

$V = π (\frac{8 \cdot 2}{30} - \frac{15}{2 \cdot 15})$

Langkah 10.2.3.25.4

Kalikan $2$ dengan $15$ .

$V = π (\frac{8 \cdot 2}{30} - \frac{15}{30})$

Langkah 10.2.3.26

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (\frac{8 \cdot 2 - 15}{30})$

Langkah 10.2.3.27

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.27.1

Kalikan $8$ dengan $2$ .

$V = π (\frac{16 - 15}{30})$

Langkah 10.2.3.27.2

Kurangi $15$ dengan $16$ .

$V = π (\frac{1}{30})$

Langkah 10.2.3.28

Gabungkan $π$ dan $\frac{1}{30}$ .

$V = \frac{π}{30}$

Langkah 11

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$V = \frac{π}{30}$

Bentuk Desimal:

$V = 0.10471975 \dots$

Langkah 12