Kalkulus Contoh

$f (x) = 5 \arctan (x^{2})$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 \arctan (x^{2})$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [\arctan (x^{2})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\arctan (x^{2})]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \arctan (x)$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2}$ .

$5 (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 1.2.2

Turunan dari $\arctan (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$5 (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$5 (\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 1.3.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$5 (\frac{1}{1 + x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 1.3.2

Gabungkan $\frac{1}{1 + x^{4}}$ dan $5$ .

$\frac{5}{1 + x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{5}{1 + x^{4}} (2 x)$

Langkah 1.3.4

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{5}{1 + x^{4}}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{1 + x^{4}} x$

Langkah 1.3.4.2

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$\frac{10}{1 + x^{4}} x$

Langkah 1.3.4.3

Gabungkan $\frac{10}{1 + x^{4}}$ dan $x$ .

$\frac{10 x}{1 + x^{4}}$

Langkah 1.3.4.4

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = \frac{10 x}{x^{4} + 1}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{10 x}{x^{4} + 1}$ terhadap $x$ adalah $10 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = x^{4} + 1$ .

$10 \frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$10 \frac{(x^{4} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.3.2

Kalikan $x^{4} + 1$ dengan $1$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.3.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Tambahkan $4 x^{3}$ dan $0$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.3.6.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 x \cdot x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.4

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Pindahkan $x^{3}$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.4.2

Kalikan $x^{3}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x^{1})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 x^{3 + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.4.3

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 x^{4}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.5

Kurangi $4 x^{4}$ dengan $x^{4}$ .

$10 \frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6

Gabungkan $10$ dan $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{10 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{10 (- 3 x^{4}) + 10 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.7.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.1

Kalikan $- 3$ dengan $10$ .

$\frac{- 30 x^{4} + 10 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.7.2.2

Kalikan $10$ dengan $1$ .

$\frac{- 30 x^{4} + 10}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.7.3

Faktorkan $10$ dari $- 30 x^{4} + 10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.3.1

Faktorkan $10$ dari $- 30 x^{4}$ .

$\frac{10 (- 3 x^{4}) + 10}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.7.3.2

Faktorkan $10$ dari $10$ .

$\frac{10 (- 3 x^{4}) + 10 (1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.7.3.3

Faktorkan $10$ dari $10 (- 3 x^{4}) + 10 (1)$ .

$\frac{10 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.7.4

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 x^{4}$ .

$\frac{10 (- (3 x^{4}) + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.7.5

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$\frac{10 (- (3 x^{4}) - 1 (- 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.7.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 x^{4}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{10 (- (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.7.7

Tulis kembali $- (3 x^{4} - 1)$ sebagai $- 1 (3 x^{4} - 1)$ .

$\frac{10 (- 1 (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.7.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - \frac{10 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{10 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{10 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$