Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{3}{\sqrt{x + 9}}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x + 9}$ sebagai ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 1.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{3}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 1.1.3

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Tulis kembali $\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ sebagai ${({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Langkah 1.1.3.2

Kalikan eksponen dalam ${({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Langkah 1.1.3.2.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Langkah 1.1.3.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$3 \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x + 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 9$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 9])$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - \frac{1}{2}$ .

$3 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 9$ .

$3 (- \frac{1}{2} {(x + 9)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Langkah 1.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$3 (- \frac{1}{2} {(x + 9)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Langkah 1.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$3 (- \frac{1}{2} {(x + 9)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Langkah 1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$3 (- \frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Langkah 1.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$3 (- \frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Langkah 1.6.2

Kurangi $2$ dengan $- 1$ .

$3 (- \frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Langkah 1.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$3 (- \frac{1}{2} {(x + 9)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Langkah 1.7.2

Gabungkan ${(x + 9)}^{- \frac{3}{2}}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$3 (- \frac{{(x + 9)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Langkah 1.7.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Pindahkan ${(x + 9)}^{- \frac{3}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Langkah 1.7.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$- 3 (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Langkah 1.7.4

Gabungkan $\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$ dan $- 3$ .

$\frac{- 3}{2 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Langkah 1.7.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{3}{2 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Langkah 1.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 9$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$- \frac{3}{2 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Langkah 1.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \frac{3}{2 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [9])$

Langkah 1.10

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- \frac{3}{2 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}} (1 + 0)$

Langkah 1.11

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.11.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$- \frac{3}{2 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

Langkah 1.11.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (x) = - \frac{3}{2 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Karena $- \frac{3}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{3}{2 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}]$

Langkah 2.1.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$ sebagai ${({(x + 9)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{({(x + 9)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

Langkah 2.1.2.2

Kalikan eksponen dalam ${({(x + 9)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]$

Langkah 2.1.2.2.2

Kalikan $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.2.1

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $- 1$ .

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]$

Langkah 2.1.2.2.2.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{- 3}{2}}]$

Langkah 2.1.2.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{- \frac{3}{2}}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ dan $g (x) = x + 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 9$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 9])$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2} (- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 9$ .

$- \frac{3}{2} (- \frac{3}{2} {(x + 9)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Langkah 2.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{2} (- \frac{3}{2} {(x + 9)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Langkah 2.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{2} (- \frac{3}{2} {(x + 9)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Langkah 2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{3}{2} (- \frac{3}{2} {(x + 9)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Langkah 2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- \frac{3}{2} (- \frac{3}{2} {(x + 9)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Langkah 2.6.2

Kurangi $2$ dengan $- 3$ .

$- \frac{3}{2} (- \frac{3}{2} {(x + 9)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Langkah 2.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{3}{2} (- \frac{3}{2} {(x + 9)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Langkah 2.7.2

Gabungkan ${(x + 9)}^{- \frac{5}{2}}$ dan $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2} (- \frac{{(x + 9)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Langkah 2.7.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.3.1

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri ${(x + 9)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$- \frac{3}{2} (- \frac{3 \cdot {(x + 9)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Langkah 2.7.3.2

Pindahkan ${(x + 9)}^{- \frac{5}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{2} (- \frac{3}{2 {(x + 9)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Langkah 2.7.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 (\frac{3}{2}) (\frac{3}{2 {(x + 9)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Langkah 2.7.3.4

Kalikan $\frac{3}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{3}{2} (\frac{3}{2 {(x + 9)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Langkah 2.7.4

Kalikan $\frac{3}{2 {(x + 9)}^{\frac{5}{2}}}$ dengan $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{2 {(x + 9)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Langkah 2.7.5

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.5.1

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{9}{2 {(x + 9)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Langkah 2.7.5.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{9}{4 {(x + 9)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Langkah 2.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 9$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{9}{4 {(x + 9)}^{\frac{5}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Langkah 2.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{9}{4 {(x + 9)}^{\frac{5}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [9])$

Langkah 2.10

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{9}{4 {(x + 9)}^{\frac{5}{2}}} (1 + 0)$

Langkah 2.11

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{9}{4 {(x + 9)}^{\frac{5}{2}}} \cdot 1$

Langkah 2.11.2

Kalikan $\frac{9}{4 {(x + 9)}^{\frac{5}{2}}}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{9}{4 {(x + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

Langkah 3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{9}{4 {(x + 9)}^{\frac{5}{2}}}$ .

$\frac{9}{4 {(x + 9)}^{\frac{5}{2}}}$