Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} x^{\sqrt{x}}$

Langkah 1

Ubah limit dua arah menjadi limit kanan.

$lim_{x \to 0^{+}} x^{\sqrt{x}}$

Langkah 2

Gunakan sifat dari logaritma untuk menyederhanakan limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali $x^{\sqrt{x}}$ sebagai $e^{\ln (x^{\sqrt{x}})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln (x^{\sqrt{x}})}$

Langkah 2.2

Perluas $\ln (x^{\sqrt{x}})$ dengan memindahkan $\sqrt{x}$ ke luar logaritma.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\sqrt{x} \ln (x)}$

Langkah 3

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{x} \ln (x)}$

Langkah 4

Tulis kembali $\sqrt{x} \ln (x)$ sebagai $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}}}$

Langkah 5

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}}}}$

Langkah 5.1.2

Ketika $x$ mendekati $0$ dari kanan, $\ln (x)$ menurun tanpa batas.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}}}}$

Langkah 5.1.3

Karena pembilangnya positif dan penyebut $\sqrt{x}$ mendekati nol dan lebih besar dari nol untuk $x$ mendekati $0$ ke kanan, fungsinya meningkat tanpa batas.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Langkah 5.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Langkah 5.2

Karena $\frac{- \infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]}$

Langkah 5.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]}}$

Langkah 5.3.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]}}$

Langkah 5.3.3

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]}}$

Langkah 5.3.4

Tulis kembali $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ sebagai ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]}}$

Langkah 5.3.5

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]}}$

Langkah 5.3.5.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]}}$

Langkah 5.3.5.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]}}$

Langkah 5.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - \frac{1}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1}}}$

Langkah 5.3.7

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}}$

Langkah 5.3.8

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}}$

Langkah 5.3.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}}$

Langkah 5.3.10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.10.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}}$

Langkah 5.3.10.2

Kurangi $2$ dengan $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}}}}$

Langkah 5.3.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}}}$

Langkah 5.3.12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.12.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}}$

Langkah 5.3.12.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.12.2.1

Kalikan $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}}}$

Langkah 5.3.12.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}}}$

Langkah 5.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 5.5

Gabungkan faktor-faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 2 x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 5.5.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2}{x} x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 5.5.3

Gabungkan $\frac{- 2}{x}$ dan $x^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2 x^{\frac{3}{2}}}{x}}$

Langkah 5.6

Kurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Faktorkan $x$ dari $- 2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x}}$

Langkah 5.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x^{1}}}$

Langkah 5.6.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x \cdot 1}}$

Langkah 5.6.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x \cdot 1}}$

Langkah 5.6.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2 x^{\frac{1}{2}}}{1}}$

Langkah 5.6.2.5

Bagilah $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - 2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pindahkan suku $- 2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.2

Pindahkan pangkat $\frac{1}{2}$ dari $x^{\frac{1}{2}}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$e^{- 2 {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 7

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$e^{- 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 8

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$e^{- 2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 8.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{- 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Langkah 8.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{- 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Langkah 8.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{- 2 \cdot 0^{1}}$

Langkah 8.1.4

Evaluasi eksponennya.

$e^{- 2 \cdot 0}$

Langkah 8.1.5

Kalikan $- 2$ dengan $0$ .

$e^{0}$

Langkah 8.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$1$