Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 81}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = x^{2} + 81$ .

$\frac{(x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 81]}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 81) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 81]}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2} + 81$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 81) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 81]}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 81$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81])}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [81])}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.5

Karena $81$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $81$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.6.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Langkah 1.1.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Langkah 1.1.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Langkah 1.1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 81) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Langkah 1.1.6.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Langkah 1.1.6.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.3.1.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.3.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Langkah 1.1.6.3.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.3.1.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Langkah 1.1.6.3.1.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Langkah 1.1.6.3.1.1.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Langkah 1.1.6.3.1.2

Kalikan $2$ dengan $81$ .

$\frac{2 x^{3} + 162 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Langkah 1.1.6.3.2

Gabungkan suku balikan dalam $2 x^{3} + 162 x - 2 x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.3.2.1

Kurangi $2 x^{3}$ dengan $2 x^{3}$ .

$\frac{162 x + 0}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Langkah 1.1.6.3.2.2

Tambahkan $162 x$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$ .

$\frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$162 x = 0$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $162 x = 0$ dengan $162$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $162 x = 0$ dengan $162$ .

$\frac{162 x}{162} = \frac{0}{162}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $162$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{162 x}{162} = \frac{0}{162}$

Langkah 2.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{162}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Bagilah $0$ dengan $162$ .

$x = 0$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = \frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 81}$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1) = \frac{162 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} + 81)}^{2}}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan $162$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 162}{{({(- 1)}^{2} + 81)}^{2}}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 162}{{(1 + 81)}^{2}}$

Langkah 5.2.2.2

Tambahkan $1$ dan $81$ .

$f' (- 1) = \frac{- 162}{82^{2}}$

Langkah 5.2.2.3

Naikkan $82$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 162}{6724}$

Langkah 5.2.3

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 162$ dan $6724$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 162$ .

$f' (- 1) = \frac{2 (- 81)}{6724}$

Langkah 5.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $6724$ .

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 81}{2 \cdot 3362}$

Langkah 5.2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 81}{2 \cdot 3362}$

Langkah 5.2.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (- 1) = \frac{- 81}{3362}$

Langkah 5.2.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- 1) = - \frac{81}{3362}$

Langkah 5.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{81}{3362}$ .

$- \frac{81}{3362}$

Langkah 5.3

Pada $x = - 1$ , turunannya adalah $- \frac{81}{3362}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, 0)$ .

Menurun pada $(- \infty, 0)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = \frac{162 (1)}{{({(1)}^{2} + 81)}^{2}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $162$ dengan $1$ .

$f' (1) = \frac{162}{{(1^{2} + 81)}^{2}}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = \frac{162}{{(1 + 81)}^{2}}$

Langkah 6.2.2.2

Tambahkan $1$ dan $81$ .

$f' (1) = \frac{162}{82^{2}}$

Langkah 6.2.2.3

Naikkan $82$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (1) = \frac{162}{6724}$

Langkah 6.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $162$ dan $6724$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $162$ .

$f' (1) = \frac{2 (81)}{6724}$

Langkah 6.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $6724$ .

$f' (1) = \frac{2 \cdot 81}{2 \cdot 3362}$

Langkah 6.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (1) = \frac{2 \cdot 81}{2 \cdot 3362}$

Langkah 6.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (1) = \frac{81}{3362}$

Langkah 6.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\frac{81}{3362}$ .

$\frac{81}{3362}$

Langkah 6.3

Pada $x = 1$ , turunannya adalah $\frac{81}{3362}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(0, \infty)$ .

Meningkat pada $(0, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(0, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, 0)$

Langkah 8