Kalkulus Contoh

$y = 4 \cos (x) \sin (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 \cos (x) \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

$4 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Langkah 1.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Langkah 1.4

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Langkah 1.5

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Langkah 1.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$4 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Langkah 1.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$4 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Langkah 1.8

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$4 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Langkah 1.9

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$4 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)))$

Langkah 1.10

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$4 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))$

Langkah 1.11

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$4 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

Langkah 1.12

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$4 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Langkah 1.13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.13.1

Terapkan sifat distributif.

$4 \cos^{2} (x) + 4 (- \sin^{2} (x))$

Langkah 1.13.2

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$f' (x) = 4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 \cos^{2} (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 \cos^{2} (x)$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\cos (x)$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$

Langkah 2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\cos (x)$ .

$4 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$

Langkah 2.2.3

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$4 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$

Langkah 2.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$4 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$

Langkah 2.2.5

Kalikan $- 2$ dengan $4$ .

$- 8 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 \sin^{2} (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 \sin^{2} (x)$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$- 8 \cos (x) \sin (x) - 4 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $\sin (x)$ .

$- 8 \cos (x) \sin (x) - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Langkah 2.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- 8 \cos (x) \sin (x) - 4 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Langkah 2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\sin (x)$ .

$- 8 \cos (x) \sin (x) - 4 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Langkah 2.3.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$- 8 \cos (x) \sin (x) - 4 (2 \sin (x) \cos (x))$

Langkah 2.3.4

Kalikan $2$ dengan $- 4$ .

$- 8 \cos (x) \sin (x) - 8 \sin (x) \cos (x)$

Langkah 2.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Susun kembali faktor-faktor dari $- 8 \sin (x) \cos (x)$ .

$- 8 \cos (x) \sin (x) - 8 \cos (x) \sin (x)$

Langkah 2.4.2

Kurangi $8 \cos (x) \sin (x)$ dengan $- 8 \cos (x) \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 16 \cos (x) \sin (x)$