Kalkulus Contoh

$\sin (\frac{x}{2})$

Langkah 1

Tulis $\sin (\frac{x}{2})$ sebagai fungsi.

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$

Langkah 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Langkah 2.1.1.1.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Langkah 2.1.1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Langkah 2.1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.2.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.1.1.2.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.1.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Langkah 2.1.1.2.4

Kalikan $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Langkah 2.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Langkah 2.1.2.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Langkah 2.1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Langkah 2.1.2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Langkah 2.1.2.3.2

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.1.2.3.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.3.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.1.2.3.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.1.2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

Langkah 2.1.2.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

Langkah 2.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

Langkah 2.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$

Langkah 2.2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$\sin (\frac{x}{2}) = 0$

Langkah 2.2.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$\frac{x}{2} = \arcsin (0)$

Langkah 2.2.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{x}{2} = 0$

Langkah 2.2.3.3

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$x = 0$

Langkah 2.2.3.4

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$\frac{x}{2} = π - 0$

Langkah 2.2.3.5

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.5.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Langkah 2.2.3.5.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.5.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.5.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Langkah 2.2.3.5.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = 2 (π - 0)$

Langkah 2.2.3.5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.5.2.2.1

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$x = 2 π$

Langkah 2.2.3.6

Tentukan periode dari $\sin (\frac{x}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.6.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 2.2.3.6.2

Ganti $b$ dengan $\frac{1}{2}$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Langkah 2.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ mendekati $0.5$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Langkah 2.2.3.6.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$2 π \cdot 2$

Langkah 2.2.3.6.5

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 π$

Langkah 2.2.3.7

Periode dari fungsi $\sin (\frac{x}{2})$ adalah $4 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $4 π$ radian di kedua arah.

$x = 4 π n, 2 π + 4 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2.2.4

Gabungkan jawabannya.

$x = 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 4

Buat interval di sekitar nilai $x$ saat turunan keduanya bernilai nol atau tak hingga.

$(- \infty, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- \infty, \infty)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{0}{2})}{4}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{2 (0)}{2})}{4}$

Langkah 5.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{4}$

Langkah 5.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{4}$

Langkah 5.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{0}{1})}{4}$

Langkah 5.2.1.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$f'' (0) = - \frac{\sin (0)}{4}$

Langkah 5.2.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$f'' (0) = - \frac{0}{4}$

Langkah 5.2.3

Bagilah $0$ dengan $4$ .

$f'' (0) = - 0$

Langkah 5.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f'' (0) = 0$

Langkah 5.2.5

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 5.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(- \infty, \infty)$ karena $f'' (0)$ positif.

Cekung ke atas pada $(- \infty, \infty)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 6