Kalkulus Contoh

$3 x^{4} - 16 x^{3} + 24 x^{2}$

Langkah 1

Tulis $3 x^{4} - 16 x^{3} + 24 x^{2}$ sebagai fungsi.

$f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 24 x^{2}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{4} - 16 x^{3} + 24 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Langkah 2.1.2.3

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- 16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 16 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$12 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $- 16$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Langkah 2.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Karena $24$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $24 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 24 (2 x)$

Langkah 2.1.4.3

Kalikan $2$ dengan $24$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $12 x$ dari $12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Faktorkan $12 x$ dari $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 48 x^{2} + 48 x = 0$

Langkah 3.2.1.2

Faktorkan $12 x$ dari $- 48 x^{2}$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 4 x) + 48 x = 0$

Langkah 3.2.1.3

Faktorkan $12 x$ dari $48 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 4 x) + 12 x (4) = 0$

Langkah 3.2.1.4

Faktorkan $12 x$ dari $12 x (x^{2}) + 12 x (- 4 x)$ .

$12 x (x^{2} - 4 x) + 12 x (4) = 0$

Langkah 3.2.1.5

Faktorkan $12 x$ dari $12 x (x^{2} - 4 x) + 12 x (4)$ .

$12 x (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Langkah 3.2.2

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

Langkah 3.2.2.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Langkah 3.2.2.3

Tulis kembali polinomialnya.

$12 x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Langkah 3.2.2.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 2$ .

$12 x {(x - 2)}^{2} = 0$

Langkah 3.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Langkah 3.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 3.5

Atur ${(x - 2)}^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Atur ${(x - 2)}^{2}$ sama dengan $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Langkah 3.5.2

Selesaikan ${(x - 2)}^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 3.5.2.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 3.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $12 x {(x - 2)}^{2} = 0$ benar.

$x = 0, 2$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0, 2$ .

$0, 2$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1) = 12 {(- 1)}^{3} - 48 {(- 1)}^{2} + 48 (- 1)$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- 1) = 12 \cdot - 1 - 48 {(- 1)}^{2} + 48 (- 1)$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $12$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = - 12 - 48 {(- 1)}^{2} + 48 (- 1)$

Langkah 6.2.1.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 1) = - 12 - 48 \cdot 1 + 48 (- 1)$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $- 48$ dengan $1$ .

$f' (- 1) = - 12 - 48 + 48 (- 1)$

Langkah 6.2.1.5

Kalikan $48$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = - 12 - 48 - 48$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Kurangi $48$ dengan $- 12$ .

$f' (- 1) = - 60 - 48$

Langkah 6.2.2.2

Kurangi $48$ dengan $- 60$ .

$f' (- 1) = - 108$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 108$ .

$- 108$

Langkah 6.3

Pada $x = - 1$ , turunannya adalah $- 108$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, 0)$ .

Menurun pada $(- \infty, 0)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, 2)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = 12 {(1)}^{3} - 48 {(1)}^{2} + 48 (1)$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = 12 \cdot 1 - 48 {(1)}^{2} + 48 (1)$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$f' (1) = 12 - 48 {(1)}^{2} + 48 (1)$

Langkah 7.2.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = 12 - 48 \cdot 1 + 48 (1)$

Langkah 7.2.1.4

Kalikan $- 48$ dengan $1$ .

$f' (1) = 12 - 48 + 48 (1)$

Langkah 7.2.1.5

Kalikan $48$ dengan $1$ .

$f' (1) = 12 - 48 + 48$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Kurangi $48$ dengan $12$ .

$f' (1) = - 36 + 48$

Langkah 7.2.2.2

Tambahkan $- 36$ dan $48$ .

$f' (1) = 12$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $12$ .

$12$

Langkah 7.3

Pada $x = 1$ , turunannya adalah $12$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(0, 2)$ .

Meningkat pada $(0, 2)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(2, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (3) = 12 {(3)}^{3} - 48 {(3)}^{2} + 48 (3)$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (3) = 12 \cdot 27 - 48 {(3)}^{2} + 48 (3)$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $12$ dengan $27$ .

$f' (3) = 324 - 48 {(3)}^{2} + 48 (3)$

Langkah 8.2.1.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (3) = 324 - 48 \cdot 9 + 48 (3)$

Langkah 8.2.1.4

Kalikan $- 48$ dengan $9$ .

$f' (3) = 324 - 432 + 48 (3)$

Langkah 8.2.1.5

Kalikan $48$ dengan $3$ .

$f' (3) = 324 - 432 + 144$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Kurangi $432$ dengan $324$ .

$f' (3) = - 108 + 144$

Langkah 8.2.2.2

Tambahkan $- 108$ dan $144$ .

$f' (3) = 36$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $36$ .

$36$

Langkah 8.3

Pada $x = 3$ , turunannya adalah $36$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(2, \infty)$ .

Meningkat pada $(2, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 9

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(0, 2), (2, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, 0)$

Langkah 10