Kalkulus Contoh

$\frac{x^{3} - 4 x - 1}{2 x^{3}}$

Langkah 1

Tulis $\frac{x^{3} - 4 x - 1}{2 x^{3}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{x^{3} - 4 x - 1}{2 x^{3}}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{x^{3} - 4 x - 1}{2 x^{3}} d x$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{x^{3} - 4 x - 1}{x^{3}} d x$

Langkah 5

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan $x^{3}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (x^{3} - 4 x - 1) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Langkah 5.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int (x^{3} - 4 x - 1) x^{3 \cdot - 1} d x$

Langkah 5.2.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (x^{3} - 4 x - 1) x^{- 3} d x$

Langkah 6

Perluas $(x^{3} - 4 x - 1) x^{- 3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2} \int (x^{3} - 4 x) x^{- 3} - 1 x^{- 3} d x$

Langkah 6.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2} \int x^{3} x^{- 3} - 4 x \cdot x^{- 3} - 1 x^{- 3} d x$

Langkah 6.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{2} \int x^{3 - 3} - 4 x \cdot x^{- 3} - 1 x^{- 3} d x$

Langkah 6.4

Kurangi $3$ dengan $3$ .

$\frac{1}{2} \int x^{0} - 4 x \cdot x^{- 3} - 1 x^{- 3} d x$

Langkah 6.5

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - 4 x \cdot x^{- 3} - 1 x^{- 3} d x$

Langkah 6.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - 4 (x^{1} x^{- 3}) - 1 x^{- 3} d x$

Langkah 6.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{2} \int 1 - 4 x^{1 - 3} - 1 x^{- 3} d x$

Langkah 6.8

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - 4 x^{- 2} - 1 x^{- 3} d x$

Langkah 6.9

Susun kembali $1$ dan $- 4 x^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} \int - 4 x^{- 2} + 1 - 1 x^{- 3} d x$

Langkah 6.10

Pindahkan $1$ .

$\frac{1}{2} \int - 4 x^{- 2} - 1 x^{- 3} + 1 d x$

Langkah 7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} (\int - 4 x^{- 2} d x + \int - 1 x^{- 3} d x + \int d x)$

Langkah 8

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 4$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (- 4 \int x^{- 2} d x + \int - 1 x^{- 3} d x + \int d x)$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) + \int - 1 x^{- 3} d x + \int d x)$

Langkah 10

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) - \int x^{- 3} d x + \int d x)$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int d x)$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gabungkan $x^{- 2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int d x)$

Langkah 12.2

Pindahkan $x^{- 2}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int d x)$

Langkah 13

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + x + C)$

Langkah 14

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} (\frac{4}{x} + \frac{1}{2 x^{2}} + x) + C$

Langkah 15

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{x^{3} - 4 x - 1}{2 x^{3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\frac{4}{x} + \frac{1}{2 x^{2}} + x) + C$