Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x + 1)}{\log_{2} (x)}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x + 1)}{lim_{x \to \infty} \log_{2} (x)}$

Langkah 1.2

Ketika log mendekati tak hingga, nilainya menjadi $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \log_{2} (x)}$

Langkah 1.3

Ketika log mendekati tak hingga, nilainya menjadi $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x + 1)}{\log_{2} (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Langkah 3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Langkah 3.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Langkah 3.6

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Langkah 3.7

Kalikan $\frac{1}{x + 1}$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Langkah 3.8

Turunan dari $\log_{2} (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x \ln (2)}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{1}{x \ln (2)}}$

Langkah 4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x + 1} (x \ln (2))$

Langkah 5

Gabungkan faktor-faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + 1} \ln (2)$

Langkah 5.2

Gabungkan $\frac{x}{x + 1}$ dan $\ln (2)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \ln (2)}{x + 1}$

Langkah 6

Pindahkan suku $\ln (2)$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + 1}$

Langkah 7

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari $x$ dalam penyebut, yaitu $x$ .

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

Langkah 8

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

Langkah 8.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

Langkah 8.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

Langkah 8.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}$

Langkah 8.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\ln (2) \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}$

Langkah 8.4

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\ln (2) \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}$

Langkah 8.5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\ln (2) \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Langkah 8.6

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\ln (2) \frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Langkah 9

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$\ln (2) \frac{1}{1 + 0}$

Langkah 10

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\ln (2) \frac{1}{1}$

Langkah 10.2

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (2) \frac{1}{1}$

Langkah 10.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (2) \cdot 1$

Langkah 10.3

Kalikan $\ln (2)$ dengan $1$ .

$\ln (2)$