Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{5 x + 3 \sin (x)}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 5 x + 3 \sin (x)}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 5 x + 3 \sin (x)}$

Langkah 1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} 5 x + 3 \sin (x)}$

Langkah 1.2.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x + 3 \sin (x)}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x + lim_{x \to 0} 3 \sin (x)}$

Langkah 1.3.2

Pindahkan suku $5$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3 \sin (x)}$

Langkah 1.3.3

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x + 3 lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Langkah 1.3.4

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x + 3 \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 1.3.5

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{5 \cdot 0 + 3 \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 1.3.5.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{5 \cdot 0 + 3 \sin (0)}$

Langkah 1.3.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1.1

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$\frac{0}{0 + 3 \sin (0)}$

Langkah 1.3.6.1.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{0 + 3 \cdot 0}$

Langkah 1.3.6.1.3

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Langkah 1.3.6.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.6.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.7

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{5 x + 3 \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [5 x + 3 \sin (x)]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [5 x + 3 \sin (x)]}$

Langkah 3.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [5 x + 3 \sin (x)]}$

Langkah 3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 x + 3 \sin (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]}$

Langkah 3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]}$

Langkah 3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]}$

Langkah 3.4.3

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{5 + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]}$

Langkah 3.5

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{5 + 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 3.5.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{5 + 3 \cos (x)}$

Langkah 4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 5 + 3 \cos (x)}$

Langkah 5

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 5 + 3 \cos (x)}$

Langkah 6

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 5 + lim_{x \to 0} 3 \cos (x)}$

Langkah 7

Evaluasi limit dari $5$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{5 + lim_{x \to 0} 3 \cos (x)}$

Langkah 8

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{5 + 3 lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Langkah 9

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{5 + 3 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 10

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\cos (0)}{5 + 3 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 10.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\cos (0)}{5 + 3 \cos (0)}$

Langkah 11

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{1}{5 + 3 \cos (0)}$

Langkah 11.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{1}{5 + 3 \cdot 1}$

Langkah 11.2.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{1}{5 + 3}$

Langkah 11.2.3

Tambahkan $5$ dan $3$ .

$\frac{1}{8}$