Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{9 + 2 e^{5 x}}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}{lim_{x \to \infty} 9 + 2 e^{5 x}}$

Langkah 1.2

Karena fungsi $e^{x}$ mendekati $\infty$ , konstanta positif $3$ kali fungsi juga mendekati $\infty$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Pertimbangkan batasnya dengan kelipatan tetap $3$ dihapus.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 9 + 2 e^{5 x}}$

Langkah 1.2.2

Karena eksponen $x$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{x}$ mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 9 + 2 e^{5 x}}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} 2 e^{5 x}}$

Langkah 1.3.1.2

Evaluasi limit dari $9$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty}{9 + lim_{x \to \infty} 2 e^{5 x}}$

Langkah 1.3.2

Karena fungsi $e^{5 x}$ mendekati $\infty$ , konstanta positif $2$ kali fungsi juga mendekati $\infty$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Pertimbangkan batasnya dengan kelipatan tetap $2$ dihapus.

$\frac{\infty}{9 + lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Langkah 1.3.2.2

Karena eksponen $5 x$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{5 x}$ mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty}{9 + \infty}$

Langkah 1.3.3

Tak hingga ditambah atau dikurangi sebuah bilangan hasilnya tak hingga.

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 1.3.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{9 + 2 e^{5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [9 + 2 e^{5 x}]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [9 + 2 e^{5 x}]}$

Langkah 3.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 e^{x}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [9 + 2 e^{5 x}]}$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [9 + 2 e^{5 x}]}$

Langkah 3.4

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $9 + 2 e^{5 x}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [2 e^{5 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [2 e^{5 x}]}$

Langkah 3.5

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + \frac{d}{d x} [2 e^{5 x}]}$

Langkah 3.6

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 e^{5 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 e^{5 x}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Langkah 3.6.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 5 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x])}$

Langkah 3.6.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x])}$

Langkah 3.6.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])}$

Langkah 3.6.3

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))}$

Langkah 3.6.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{5 x} (5 \cdot 1))}$

Langkah 3.6.5

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{5 x} \cdot 5)}$

Langkah 3.6.6

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (5 e^{5 x})}$

Langkah 3.6.7

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 10 e^{5 x}}$

Langkah 3.7

Tambahkan $0$ dan $10 e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{10 e^{5 x}}$

Langkah 4

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Hapus faktor persekutuan dari $e^{x}$ dan $e^{5 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Faktorkan $e^{5 x}$ dari $3 e^{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} (3 e^{- 4 x})}{10 e^{5 x}}$

Langkah 4.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Faktorkan $e^{5 x}$ dari $10 e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} (3 e^{- 4 x})}{e^{5 x} \cdot 10}$

Langkah 4.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} (3 e^{- 4 x})}{e^{5 x} \cdot 10}$

Langkah 4.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{- 4 x}}{10}$

Langkah 4.2

Pindahkan suku $\frac{3}{10}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{3}{10} lim_{x \to \infty} e^{- 4 x}$

Langkah 5

Karena eksponen $- 4 x$ mendekati $- \infty$ , jumlah $e^{- 4 x}$ mendekati $0$ .

$\frac{3}{10} \cdot 0$

Langkah 6

Kalikan $\frac{3}{10}$ dengan $0$ .

$0$