Kalkulus Contoh

$\sum_{j = 1}^{4} {(2 i j + 8 j)}^{2}$

Langkah 1

Sederhanakan penjumlahannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali ${(2 i j + 8 j)}^{2}$ sebagai $(2 i j + 8 j) (2 i j + 8 j)$ .

$(2 i j + 8 j) (2 i j + 8 j)$

Langkah 1.2

Perluas $(2 i j + 8 j) (2 i j + 8 j)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$2 i j (2 i j + 8 j) + 8 j (2 i j + 8 j)$

Langkah 1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$2 i j (2 i j) + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j + 8 j)$

Langkah 1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$2 i j (2 i j) + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Langkah 1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 i \cdot 2 i j \cdot j + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Langkah 1.3.1.2

Kalikan $j$ dengan $j$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.2.1

Pindahkan $j$ .

$2 i \cdot 2 i (j \cdot j) + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Langkah 1.3.1.2.2

Kalikan $j$ dengan $j$ .

$2 i \cdot 2 i j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Langkah 1.3.1.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 i i j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Langkah 1.3.1.4

Kalikan $4 i i$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.4.1

Naikkan $i$ menjadi pangkat $1$ .

$4 (i^{1} i) j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Langkah 1.3.1.4.2

Naikkan $i$ menjadi pangkat $1$ .

$4 (i^{1} i^{1}) j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Langkah 1.3.1.4.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$4 i^{1 + 1} j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Langkah 1.3.1.4.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$4 i^{2} j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Langkah 1.3.1.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$4 i^{2} j^{2} + 2 i \cdot 8 j \cdot j + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Langkah 1.3.1.6

Kalikan $j$ dengan $j$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.6.1

Pindahkan $j$ .

$4 i^{2} j^{2} + 2 i \cdot 8 (j \cdot j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Langkah 1.3.1.6.2

Kalikan $j$ dengan $j$ .

$4 i^{2} j^{2} + 2 i \cdot 8 j^{2} + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Langkah 1.3.1.7

Kalikan $8$ dengan $2$ .

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Langkah 1.3.1.8

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 2 i j \cdot j + 8 j (8 j)$

Langkah 1.3.1.9

Kalikan $j$ dengan $j$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.9.1

Pindahkan $j$ .

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 2 i (j \cdot j) + 8 j (8 j)$

Langkah 1.3.1.9.2

Kalikan $j$ dengan $j$ .

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 2 i j^{2} + 8 j (8 j)$

Langkah 1.3.1.10

Kalikan $8$ dengan $2$ .

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 16 i j^{2} + 8 j (8 j)$

Langkah 1.3.1.11

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 8 j \cdot j$

Langkah 1.3.1.12

Kalikan $j$ dengan $j$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.12.1

Pindahkan $j$ .

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 8 (j \cdot j)$

Langkah 1.3.1.12.2

Kalikan $j$ dengan $j$ .

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 8 j^{2}$

Langkah 1.3.1.13

Kalikan $8$ dengan $8$ .

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 16 i j^{2} + 64 j^{2}$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $16 i j^{2}$ dan $16 i j^{2}$ .

$4 i^{2} j^{2} + 32 i j^{2} + 64 j^{2}$

Langkah 1.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $4 i^{2} j^{2} + 32 i j^{2} + 64 j^{2}$ .

$4 j^{2} i^{2} + 32 j^{2} i + 64 j^{2}$

Langkah 1.5

Tulis kembali penjumlahannya.

$\sum_{j = 1}^{4} 4 j^{2} i^{2} + 32 j^{2} i + 64 j^{2}$

Langkah 2

Perluas barisan untuk setiap nilai dari $j$ .

$4 \cdot 1^{2} i^{2} + 32 \cdot 1^{2} i + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 2^{2} i^{2} + 32 \cdot 2^{2} i + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 3^{2} i^{2} + 32 \cdot 3^{2} i + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 4^{2} i^{2} + 32 \cdot 4^{2} i + 64 \cdot 4^{2}$

Langkah 3

Substitusikan kembali nilai-nilainya dan sederhanakan $4 \cdot (1^{2} i^{2}) + 32 \cdot (1^{2} i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$4 \cdot (1 i^{2}) + 32 \cdot (1^{2} i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Langkah 3.1.2

Kalikan $i^{2}$ dengan $1$ .

$4 \cdot i^{2} + 32 \cdot (1^{2} i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Langkah 3.1.3

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$4 \cdot - 1 + 32 \cdot (1^{2} i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Langkah 3.1.4

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$- 4 + 32 \cdot (1^{2} i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Langkah 3.1.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- 4 + 32 \cdot (1 i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Langkah 3.1.6

Kalikan $i$ dengan $1$ .

$- 4 + 32 \cdot i + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Langkah 3.1.7

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- 4 + 32 i + 64 \cdot 1 + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Langkah 3.1.8

Kalikan $64$ dengan $1$ .

$- 4 + 32 i + 64 + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Langkah 3.1.9

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 + 4 \cdot (4 i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Langkah 3.1.10

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$- 4 + 32 i + 64 + 4 \cdot (4 \cdot - 1) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Langkah 3.1.11

Kalikan $4 (4 \cdot - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.11.1

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$- 4 + 32 i + 64 + 4 \cdot - 4 + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Langkah 3.1.11.2

Kalikan $4$ dengan $- 4$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Langkah 3.1.12

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 32 \cdot (4 i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Langkah 3.1.13

Kalikan $4$ dengan $32$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Langkah 3.1.14

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 64 \cdot 4 + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Langkah 3.1.15

Kalikan $64$ dengan $4$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Langkah 3.1.16

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 + 4 \cdot (9 i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Langkah 3.1.17

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 + 4 \cdot (9 \cdot - 1) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Langkah 3.1.18

Kalikan $4 (9 \cdot - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.18.1

Kalikan $9$ dengan $- 1$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 + 4 \cdot - 9 + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Langkah 3.1.18.2

Kalikan $4$ dengan $- 9$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Langkah 3.1.19

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 32 \cdot (9 i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Langkah 3.1.20

Kalikan $9$ dengan $32$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Langkah 3.1.21

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 64 \cdot 9 + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Langkah 3.1.22

Kalikan $64$ dengan $9$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Langkah 3.1.23

Kalikan $4$ dengan $4^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.23.1

Pindahkan $4^{2}$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 4^{2} \cdot 4 \cdot i^{2} + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Langkah 3.1.23.2

Kalikan $4^{2}$ dengan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.23.2.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $1$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 4^{2} \cdot 4^{1} \cdot i^{2} + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Langkah 3.1.23.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 4^{2 + 1} \cdot i^{2} + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Langkah 3.1.23.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 4^{3} \cdot i^{2} + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Langkah 3.1.24

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 64 \cdot i^{2} + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Langkah 3.1.25

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 64 \cdot - 1 + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Langkah 3.1.26

Kalikan $64$ dengan $- 1$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Langkah 3.1.27

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 32 \cdot (16 i) + 64 \cdot 4^{2}$

Langkah 3.1.28

Kalikan $16$ dengan $32$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 64 \cdot 4^{2}$

Langkah 3.1.29

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 64 \cdot 16$

Langkah 3.1.30

Kalikan $64$ dengan $16$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 1024$

Langkah 3.2

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Tambahkan $- 4$ dan $64$ .

$60 + 32 i - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 1024$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Kurangi $16$ dengan $60$ .

$44 + 32 i + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 1024$

Langkah 3.2.2.2

Tambahkan $44$ dan $256$ .

$300 + 32 i + 128 i - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 1024$

Langkah 3.2.2.3

Kurangi $36$ dengan $300$ .

$264 + 32 i + 128 i + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 1024$

Langkah 3.2.2.4

Tambahkan $264$ dan $576$ .

$840 + 32 i + 128 i + 288 i - 64 + 512 i + 1024$

Langkah 3.2.2.5

Kurangi $64$ dengan $840$ .

$776 + 32 i + 128 i + 288 i + 512 i + 1024$

Langkah 3.2.2.6

Tambahkan $776$ dan $1024$ .

$1800 + 32 i + 128 i + 288 i + 512 i$

Langkah 3.2.3

Tambahkan $32 i$ dan $128 i$ .

$1800 + 160 i + 288 i + 512 i$

Langkah 3.2.4

Tambahkan $160 i$ dan $288 i$ .

$1800 + 448 i + 512 i$

Langkah 3.2.5

Tambahkan $448 i$ dan $512 i$ .

$1800 + 960 i$