Kalkulus Contoh

$f (x) = 2 \sin (x) + \sin (2 x)$ , $[0, π]$

Langkah 1

Jika $f$ kontinu pada interval $[a, b]$ dan terdiferensialkan pada $(a, b)$ , maka setidaknya satu bilangan riil $c$ ada dalam interval $(a, b)$ sedemikian rupa sehingga $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Teorema nilai rata-ratanya menyatakan hubungan antara gradien garis tangen dengan kurva di $x = c$ dan gradien garis yang melalui titik-titik $(a, f (a))$ dan $(b, f (b))$ .

Jika $f (x)$ kontinu pada $[a, b]$

dan jika $f (x)$ terdiferensialkan pada $(a, b)$ ,

maka ada setidaknya satu titik, $c$ di $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Langkah 2

Periksa apakah $f (x) = 2 \sin (x) + \sin (2 x)$ kontinu.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2.2

$f (x)$ kontinu di $[0, π]$ .

Fungsinya kontinu.

Langkah 3

Tentukan turunannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 \sin (x) + \sin (2 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Langkah 3.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Langkah 3.1.2.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Langkah 3.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 3.1.3.1.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$2 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 3.1.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 3.1.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Langkah 3.1.3.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Langkah 3.1.3.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Langkah 3.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ .

$2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Langkah 4

Tentukan apakah turunannya kontinu di $(0, π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 4.2

$f' (x)$ kontinu di $(0, π)$ .

Fungsinya kontinu.

Langkah 5

Fungsinya terdiferensialkan pada $(0, π)$ karena turunannya kontinu di $(0, π)$ .

Fungsinya terdiferensialkan.

Langkah 6

$f (x)$ memenuhi kedua kondisi untuk teorema nilai rata-rata. Ini kontinu pada $[0, π]$ dan terdiferensiasi pada $(0, π)$ .

$f (x)$ kontinu di $[0, π]$ dan terdiferensiasi di $(0, π)$ .

Langkah 7

Evaluasi $f (a)$ dari interval $[0, π]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = 2 \sin (0) + \sin (2 (0))$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 + \sin (2 (0))$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + \sin (2 (0))$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + \sin (0)$

Langkah 7.2.1.4

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f (0) = 0$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 8

Selesaikan $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ untuk $x$ . $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = \frac{- (f (π) + f (0))}{- (π + 0)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gunakan identitas sudut ganda untuk mengubah $\cos (2 x)$ menjadi $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \cos (x) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$2 \cos (x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 \cos (x) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

Langkah 8.2.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan $\frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0 + 0}{π - (0)}$

Langkah 8.3.1.1.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π - (0)}$

Langkah 8.3.1.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π + 0}$

Langkah 8.3.1.2.2

Tambahkan $π$ dan $0$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π}$

Langkah 8.3.1.3

Bagilah $0$ dengan $π$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Langkah 8.4

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Ganti $- 4 \sin^{2} (x)$ dengan $- 4 (1 - \cos^{2} (x))$ berdasarkan identitas $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Langkah 8.4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1

Terapkan sifat distributif.

$2 \cos (x) + 2 - 4 \cdot 1 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

Langkah 8.4.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

Langkah 8.4.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Langkah 8.4.3

Kurangi $4$ dengan $2$ .

$2 \cos (x) - 2 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Langkah 8.4.4

Susun ulang polinomial tersebut.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 = 0$

Langkah 8.4.5

Substitusikan $u$ untuk $\cos (x)$ .

$4 {(u)}^{2} + 2 (u) - 2 = 0$

Langkah 8.4.6

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.6.1

Faktorkan $2$ dari $4 u^{2} + 2 u - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.6.1.1

Faktorkan $2$ dari $4 u^{2}$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 u - 2 = 0$

Langkah 8.4.6.1.2

Faktorkan $2$ dari $2 u$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 u - 2 = 0$

Langkah 8.4.6.1.3

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 u + 2 (- 1) = 0$

Langkah 8.4.6.1.4

Faktorkan $2$ dari $2 (2 u^{2}) + 2 u$ .

$2 (2 u^{2} + u) + 2 (- 1) = 0$

Langkah 8.4.6.1.5

Faktorkan $2$ dari $2 (2 u^{2} + u) + 2 (- 1)$ .

$2 (2 u^{2} + u - 1) = 0$

Langkah 8.4.6.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.6.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.6.2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ dan yang jumlahnya adalah $b = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.6.2.1.1.1

Kalikan dengan $1$ .

$2 (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

Langkah 8.4.6.2.1.1.2

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1$ ditambah $2$

$2 (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

Langkah 8.4.6.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$2 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Langkah 8.4.6.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.6.2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$2 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Langkah 8.4.6.2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$2 (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

Langkah 8.4.6.2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 u - 1$ .

$2 ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

Langkah 8.4.6.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$2 (2 u - 1) (u + 1) = 0$

Langkah 8.4.7

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Langkah 8.4.8

Atur $2 u - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.8.1

Atur $2 u - 1$ sama dengan $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Langkah 8.4.8.2

Selesaikan $2 u - 1 = 0$ untuk $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.8.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 u = 1$

Langkah 8.4.8.2.2

Bagi setiap suku pada $2 u = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.8.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 u = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 8.4.8.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.8.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.8.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 8.4.8.2.2.2.1.2

Bagilah $u$ dengan $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Langkah 8.4.9

Atur $u + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.9.1

Atur $u + 1$ sama dengan $0$ .

$u + 1 = 0$

Langkah 8.4.9.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$u = - 1$

Langkah 8.4.10

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $2 (2 u - 1) (u + 1) = 0$ benar.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Langkah 8.4.11

Substitusikan $\cos (x)$ untuk $u$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - 1$

Langkah 8.4.12

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $x$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - 1$

Langkah 8.4.13

Selesaikan $x$ dalam $\cos (x) = \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.13.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Langkah 8.4.13.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.13.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (\frac{1}{2})$ adalah $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Langkah 8.4.13.3

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Langkah 8.4.13.4

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.13.4.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 8.4.13.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.13.4.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 8.4.13.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Langkah 8.4.13.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.13.4.3.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Langkah 8.4.13.4.3.2

Kurangi $π$ dengan $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Langkah 8.4.13.5

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.13.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 8.4.13.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 8.4.13.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 8.4.13.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 8.4.13.6

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 8.4.14

Selesaikan $x$ dalam $\cos (x) = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.14.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (- 1)$

Langkah 8.4.14.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.14.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (- 1)$ adalah $π$ .

$x = π$

Langkah 8.4.14.3

Fungsi kosinus negatif di kuadran kedua dan ketiga. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menghitung penyelesaian di kuadran ketiga.

$x = 2 π - π$

Langkah 8.4.14.4

Kurangi $π$ dengan $2 π$ .

$x = π$

Langkah 8.4.14.5

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.14.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 8.4.14.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 8.4.14.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 8.4.14.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 8.4.14.6

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 8.4.15

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 8.4.16

Gabungkan jawabannya.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 9

Terdapat garis tangen yang ditemukan di $x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ yang sejajar dengan garis yang melalui titik-titik akhir $a = 0$ dan $b = π$ .

Terdapat garis tangen pada $x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ yang sejajar dengan garis yang melalui titik-titik akhir $a = 0$ dan $b = π$

Langkah 10