Kalkulus Contoh

$f (x) = 4 x - 5 x^{\frac{7}{8}}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x - 5 x^{\frac{7}{8}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{7}{8}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{7}{8}}]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{7}{8}}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{7}{8}}]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{7}{8}}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{7}{8}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 x^{\frac{7}{8}}$ terhadap $x$ adalah $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{8}}]$ .

$4 - 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{8}}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{7}{8}$ .

$4 - 5 (\frac{7}{8} x^{\frac{7}{8} - 1})$

Langkah 1.3.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{8}{8}$ .

$4 - 5 (\frac{7}{8} x^{\frac{7}{8} - 1 \cdot \frac{8}{8}})$

Langkah 1.3.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{8}{8}$ .

$4 - 5 (\frac{7}{8} x^{\frac{7}{8} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}})$

Langkah 1.3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$4 - 5 (\frac{7}{8} x^{\frac{7 - 1 \cdot 8}{8}})$

Langkah 1.3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $8$ .

$4 - 5 (\frac{7}{8} x^{\frac{7 - 8}{8}})$

Langkah 1.3.6.2

Kurangi $8$ dengan $7$ .

$4 - 5 (\frac{7}{8} x^{\frac{- 1}{8}})$

Langkah 1.3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$4 - 5 (\frac{7}{8} x^{- \frac{1}{8}})$

Langkah 1.3.8

Gabungkan $\frac{7}{8}$ dan $x^{- \frac{1}{8}}$ .

$4 - 5 \frac{7 x^{- \frac{1}{8}}}{8}$

Langkah 1.3.9

Gabungkan $- 5$ dan $\frac{7 x^{- \frac{1}{8}}}{8}$ .

$4 + \frac{- 5 (7 x^{- \frac{1}{8}})}{8}$

Langkah 1.3.10

Kalikan $7$ dengan $- 5$ .

$4 + \frac{- 35 x^{- \frac{1}{8}}}{8}$

Langkah 1.3.11

Pindahkan $x^{- \frac{1}{8}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 + \frac{- 35}{8 x^{\frac{1}{8}}}$

Langkah 1.3.12

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = 4 - \frac{35}{8 x^{\frac{1}{8}}}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 - \frac{35}{8 x^{\frac{1}{8}}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \frac{35}{8 x^{\frac{1}{8}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \frac{35}{8 x^{\frac{1}{8}}}]$

Langkah 2.1.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{35}{8 x^{\frac{1}{8}}}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{35}{8 x^{\frac{1}{8}}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- \frac{35}{8}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{35}{8 x^{\frac{1}{8}}}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{35}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{8}}}]$ .

$0 - \frac{35}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{8}}}]$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{\frac{1}{8}}}$ sebagai ${(x^{\frac{1}{8}})}^{- 1}$ .

$0 - \frac{35}{8} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{8}})}^{- 1}]$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{\frac{1}{8}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{\frac{1}{8}}$ .

$0 - \frac{35}{8} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{8}}])$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$0 - \frac{35}{8} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{8}}])$

Langkah 2.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{\frac{1}{8}}$ .

$0 - \frac{35}{8} (- {(x^{\frac{1}{8}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{8}}])$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{8}$ .

$0 - \frac{35}{8} (- {(x^{\frac{1}{8}})}^{- 2} (\frac{1}{8} x^{\frac{1}{8} - 1}))$

Langkah 2.2.5

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{8}})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{35}{8} (- x^{\frac{1}{8} \cdot - 2} (\frac{1}{8} x^{\frac{1}{8} - 1}))$

Langkah 2.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$0 - \frac{35}{8} (- x^{\frac{1}{2 (4)} \cdot - 2} (\frac{1}{8} x^{\frac{1}{8} - 1}))$

Langkah 2.2.5.2.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$0 - \frac{35}{8} (- x^{\frac{1}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{8} x^{\frac{1}{8} - 1}))$

Langkah 2.2.5.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$0 - \frac{35}{8} (- x^{\frac{1}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{8} x^{\frac{1}{8} - 1}))$

Langkah 2.2.5.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$0 - \frac{35}{8} (- x^{\frac{1}{4} \cdot - 1} (\frac{1}{8} x^{\frac{1}{8} - 1}))$

Langkah 2.2.5.3

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $- 1$ .

$0 - \frac{35}{8} (- x^{\frac{- 1}{4}} (\frac{1}{8} x^{\frac{1}{8} - 1}))$

Langkah 2.2.5.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$0 - \frac{35}{8} (- x^{- \frac{1}{4}} (\frac{1}{8} x^{\frac{1}{8} - 1}))$

Langkah 2.2.6

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{8}{8}$ .

$0 - \frac{35}{8} (- x^{- \frac{1}{4}} (\frac{1}{8} x^{\frac{1}{8} - 1 \cdot \frac{8}{8}}))$

Langkah 2.2.7

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{8}{8}$ .

$0 - \frac{35}{8} (- x^{- \frac{1}{4}} (\frac{1}{8} x^{\frac{1}{8} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}}))$

Langkah 2.2.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$0 - \frac{35}{8} (- x^{- \frac{1}{4}} (\frac{1}{8} x^{\frac{1 - 1 \cdot 8}{8}}))$

Langkah 2.2.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.9.1

Kalikan $- 1$ dengan $8$ .

$0 - \frac{35}{8} (- x^{- \frac{1}{4}} (\frac{1}{8} x^{\frac{1 - 8}{8}}))$

Langkah 2.2.9.2

Kurangi $8$ dengan $1$ .

$0 - \frac{35}{8} (- x^{- \frac{1}{4}} (\frac{1}{8} x^{\frac{- 7}{8}}))$

Langkah 2.2.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$0 - \frac{35}{8} (- x^{- \frac{1}{4}} (\frac{1}{8} x^{- \frac{7}{8}}))$

Langkah 2.2.11

Gabungkan $\frac{1}{8}$ dan $x^{- \frac{7}{8}}$ .

$0 - \frac{35}{8} (- x^{- \frac{1}{4}} \frac{x^{- \frac{7}{8}}}{8})$

Langkah 2.2.12

Gabungkan $\frac{x^{- \frac{7}{8}}}{8}$ dan $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$0 - \frac{35}{8} (- \frac{x^{- \frac{7}{8}} x^{- \frac{1}{4}}}{8})$

Langkah 2.2.13

Kalikan $x^{- \frac{7}{8}}$ dengan $x^{- \frac{1}{4}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.13.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$0 - \frac{35}{8} (- \frac{x^{- \frac{7}{8} - \frac{1}{4}}}{8})$

Langkah 2.2.13.2

Untuk menuliskan $- \frac{1}{4}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$0 - \frac{35}{8} (- \frac{x^{- \frac{7}{8} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2}}}{8})$

Langkah 2.2.13.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $8$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.13.3.1

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$0 - \frac{35}{8} (- \frac{x^{- \frac{7}{8} - \frac{2}{4 \cdot 2}}}{8})$

Langkah 2.2.13.3.2

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$0 - \frac{35}{8} (- \frac{x^{- \frac{7}{8} - \frac{2}{8}}}{8})$

Langkah 2.2.13.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$0 - \frac{35}{8} (- \frac{x^{\frac{- 7 - 2}{8}}}{8})$

Langkah 2.2.13.5

Kurangi $2$ dengan $- 7$ .

$0 - \frac{35}{8} (- \frac{x^{\frac{- 9}{8}}}{8})$

Langkah 2.2.13.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$0 - \frac{35}{8} (- \frac{x^{- \frac{9}{8}}}{8})$

Langkah 2.2.14

Pindahkan $x^{- \frac{9}{8}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{35}{8} (- \frac{1}{8 x^{\frac{9}{8}}})$

Langkah 2.2.15

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{35}{8}) \frac{1}{8 x^{\frac{9}{8}}}$

Langkah 2.2.16

Kalikan $\frac{35}{8}$ dengan $1$ .

$0 + \frac{35}{8} \cdot \frac{1}{8 x^{\frac{9}{8}}}$

Langkah 2.2.17

Kalikan $\frac{35}{8}$ dengan $\frac{1}{8 x^{\frac{9}{8}}}$ .

$0 + \frac{35}{8 (8 x^{\frac{9}{8}})}$

Langkah 2.2.18

Kalikan $8$ dengan $8$ .

$0 + \frac{35}{64 x^{\frac{9}{8}}}$

Langkah 2.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{35}{64 x^{\frac{9}{8}}}$ .

$f'' (x) = \frac{35}{64 x^{\frac{9}{8}}}$

Langkah 3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{35}{64 x^{\frac{9}{8}}}$ .

$\frac{35}{64 x^{\frac{9}{8}}}$