Kalkulus Contoh

$y = x {(2 x + 3)}^{5}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = {(2 x + 3)}^{5}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{5}] + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{5}$ dan $g (x) = 2 x + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x + 3$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [2 x + 3]) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$x (5 u^{4} \frac{d}{d x} [2 x + 3]) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x + 3$ .

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x + 3]) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} (2 + \frac{d}{d x} [3])) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.5

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} (2 + 0)) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} \cdot 2) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.6.2

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$x (10 {(2 x + 3)}^{4}) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (10 {(2 x + 3)}^{4}) + {(2 x + 3)}^{5} \cdot 1$

Langkah 1.3.8

Kalikan ${(2 x + 3)}^{5}$ dengan $1$ .

$x (10 {(2 x + 3)}^{4}) + {(2 x + 3)}^{5}$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Faktorkan ${(2 x + 3)}^{4}$ dari $x (10 {(2 x + 3)}^{4}) + {(2 x + 3)}^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Faktorkan ${(2 x + 3)}^{4}$ dari $x (10 {(2 x + 3)}^{4})$ .

${(2 x + 3)}^{4} (x \cdot (10)) + {(2 x + 3)}^{5}$

Langkah 1.4.1.2

Faktorkan ${(2 x + 3)}^{4}$ dari ${(2 x + 3)}^{5}$ .

${(2 x + 3)}^{4} (x \cdot (10)) + {(2 x + 3)}^{4} (2 x + 3)$

Langkah 1.4.1.3

Faktorkan ${(2 x + 3)}^{4}$ dari ${(2 x + 3)}^{4} (x \cdot (10)) + {(2 x + 3)}^{4} (2 x + 3)$ .

${(2 x + 3)}^{4} (x \cdot (10) + 2 x + 3)$

Langkah 1.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Pindahkan $10$ ke sebelah kiri $x$ .

${(2 x + 3)}^{4} (10 \cdot x + 2 x + 3)$

Langkah 1.4.2.2

Tambahkan $10 x$ dan $2 x$ .

$f' (x) = {(2 x + 3)}^{4} (12 x + 3)$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = {(2 x + 3)}^{4}$ dan $g (x) = 12 x + 3$ .

${(2 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [12 x + 3] + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $12 x + 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

${(2 x + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Langkah 2.2.2

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12 x$ terhadap $x$ adalah $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(2 x + 3)}^{4} (12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

${(2 x + 3)}^{4} (12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Langkah 2.2.4

Kalikan $12$ dengan $1$ .

${(2 x + 3)}^{4} (12 + \frac{d}{d x} [3]) + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Langkah 2.2.5

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

${(2 x + 3)}^{4} (12 + 0) + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.1

Tambahkan $12$ dan $0$ .

${(2 x + 3)}^{4} \cdot 12 + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Langkah 2.2.6.2

Pindahkan $12$ ke sebelah kiri ${(2 x + 3)}^{4}$ .

$12 \cdot {(2 x + 3)}^{4} + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{4}$ dan $g (x) = 2 x + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x + 3$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + (12 x + 3) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + (12 x + 3) (4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Langkah 2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x + 3$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + (12 x + 3) (4 {(2 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Langkah 2.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $12 x + 3$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 \cdot (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Langkah 2.4.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Langkah 2.4.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Langkah 2.4.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Langkah 2.4.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [3])$

Langkah 2.4.6

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} (2 + 0)$

Langkah 2.4.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.7.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} \cdot 2$

Langkah 2.4.7.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 8 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3}$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Terapkan sifat distributif.

$12 {(2 x + 3)}^{4} + (8 (12 x) + 8 \cdot 3) {(2 x + 3)}^{3}$

Langkah 2.5.2

Kalikan $12$ dengan $8$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + (96 x + 8 \cdot 3) {(2 x + 3)}^{3}$

Langkah 2.5.3

Kalikan $8$ dengan $3$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + (96 x + 24) {(2 x + 3)}^{3}$

Langkah 2.5.4

Faktorkan ${(2 x + 3)}^{3}$ dari $12 {(2 x + 3)}^{4} + (96 x + 24) {(2 x + 3)}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1

Faktorkan ${(2 x + 3)}^{3}$ dari $12 {(2 x + 3)}^{4}$ .

${(2 x + 3)}^{3} (12 (2 x + 3)) + (96 x + 24) {(2 x + 3)}^{3}$

Langkah 2.5.4.2

Faktorkan ${(2 x + 3)}^{3}$ dari $(96 x + 24) {(2 x + 3)}^{3}$ .

${(2 x + 3)}^{3} (12 (2 x + 3)) + {(2 x + 3)}^{3} (96 x + 24)$

Langkah 2.5.4.3

Faktorkan ${(2 x + 3)}^{3}$ dari ${(2 x + 3)}^{3} (12 (2 x + 3)) + {(2 x + 3)}^{3} (96 x + 24)$ .

$f'' (x) = {(2 x + 3)}^{3} (12 (2 x + 3) + 96 x + 24)$