Kalkulus Contoh

$\frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$

Langkah 1

Tulis $\frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = {(x + 4)}^{2}$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{({(x + 4)}^{2})}^{2}}$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan eksponen dalam ${({(x + 4)}^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{2 \cdot 2}}$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 2.3.3

Kalikan ${(x + 4)}^{2}$ dengan $1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = x + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 4$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 2.4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 4$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 2.5

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 2.5.2

Faktorkan $x + 4$ dari ${(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Faktorkan $x + 4$ dari ${(x + 4)}^{2}$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4) - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 2.5.2.2

Faktorkan $x + 4$ dari $- 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 2.5.2.3

Faktorkan $x + 4$ dari $(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 2.6

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Faktorkan $x + 4$ dari ${(x + 4)}^{4}$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Langkah 2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Langkah 2.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$4 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 2.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 2.9

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (1 + 0)}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 2.10

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x \cdot 1}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 2.10.2

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 2.10.3

Kurangi $2 x$ dengan $x$ .

$4 \frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 2.10.4

Gabungkan $4$ dan $\frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$\frac{4 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 2.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{4 (- x) + 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 2.11.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$\frac{- 4 x + 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 2.11.2.2

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$\frac{- 4 x + 16}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 2.11.3

Faktorkan $4$ dari $- 4 x + 16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.3.1

Faktorkan $4$ dari $- 4 x$ .

$\frac{4 (- x) + 16}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 2.11.3.2

Faktorkan $4$ dari $16$ .

$\frac{4 (- x) + 4 (4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 2.11.3.3

Faktorkan $4$ dari $4 (- x) + 4 (4)$ .

$\frac{4 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 2.11.4

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$\frac{4 (- (x) + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 2.11.5

Tulis kembali $4$ sebagai $- 1 (- 4)$ .

$\frac{4 (- (x) - 1 (- 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 2.11.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{4 (- (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 2.11.7

Tulis kembali $- (x - 4)$ sebagai $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{4 (- 1 (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 2.11.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 3

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{{(x + 4)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{x - 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 3.2

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{({(x + 4)}^{3})}^{2}}$

Langkah 3.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan eksponen dalam ${({(x + 4)}^{3})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{3 \cdot 2}}$

Langkah 3.3.1.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Langkah 3.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Langkah 3.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Langkah 3.3.4

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Langkah 3.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Langkah 3.3.5.2

Kalikan ${(x + 4)}^{3}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = x + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 4$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 4) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Langkah 3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 4) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Langkah 3.4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 4$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 4) (3 {(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Langkah 3.5

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} - 3 (x - 4) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Langkah 3.5.2

Faktorkan ${(x + 4)}^{2}$ dari ${(x + 4)}^{3} - 3 (x - 4) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Faktorkan ${(x + 4)}^{2}$ dari ${(x + 4)}^{3}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4) - 3 (x - 4) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Langkah 3.5.2.2

Faktorkan ${(x + 4)}^{2}$ dari $- 3 (x - 4) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4) + {(x + 4)}^{2} (- 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4)))}{{(x + 4)}^{6}}$

Langkah 3.5.2.3

Faktorkan ${(x + 4)}^{2}$ dari ${(x + 4)}^{2} (x + 4) + {(x + 4)}^{2} (- 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x + 4]))$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4)))}{{(x + 4)}^{6}}$

Langkah 3.6

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Faktorkan ${(x + 4)}^{2}$ dari ${(x + 4)}^{6}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4)))}{{(x + 4)}^{2} {(x + 4)}^{4}}$

Langkah 3.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4)))}{{(x + 4)}^{2} {(x + 4)}^{4}}$

Langkah 3.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = - 4 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 3.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 3.9

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) (1 + 0)}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 3.10

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) \cdot 1}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 3.10.2

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x + 4 - 3 (x - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 3.10.3

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{x + 4 - 3 (x - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x + 4 - 3 (x - 4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 3.10.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 4 - 3 (x - 4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 3.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 4 - 3 x - 3 \cdot - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 3.11.2

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = - \frac{4 x + 4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 3.11.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.3.1.1

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$f'' (x) = - \frac{4 x + 16 + 4 (- 3 x) + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 3.11.3.1.2

Kalikan $- 3$ dengan $4$ .

$f'' (x) = - \frac{4 x + 16 - 12 x + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 3.11.3.1.3

Kalikan $4 (- 3 \cdot - 4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.3.1.3.1

Kalikan $- 3$ dengan $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{4 x + 16 - 12 x + 4 \cdot 12}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 3.11.3.1.3.2

Kalikan $4$ dengan $12$ .

$f'' (x) = - \frac{4 x + 16 - 12 x + 48}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 3.11.3.2

Kurangi $12 x$ dengan $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x + 16 + 48}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 3.11.3.3

Tambahkan $16$ dan $48$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x + 64}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 3.11.4

Faktorkan $8$ dari $- 8 x + 64$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.4.1

Faktorkan $8$ dari $- 8 x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x) + 64}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 3.11.4.2

Faktorkan $8$ dari $64$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x) + 8 (8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 3.11.4.3

Faktorkan $8$ dari $8 (- x) + 8 (8)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 3.11.5

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x) + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 3.11.6

Tulis kembali $8$ sebagai $- 1 (- 8)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x) - 1 \cdot - 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 3.11.7

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - 1 (- 8)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x - 8))}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 3.11.8

Tulis kembali $- (x - 8)$ sebagai $- 1 (x - 8)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- 1 (x - 8))}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 3.11.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = \frac{8 (x - 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 3.11.10

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{8 (x - 8)}{{(x + 4)}^{4}})$

Langkah 3.11.11

Kalikan $\frac{8 (x - 8)}{{(x + 4)}^{4}}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 (x - 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 4

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}} = 0$

Langkah 5

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$

Langkah 5.1.2

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{({(x + 4)}^{2})}^{2}}$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Kalikan eksponen dalam ${({(x + 4)}^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{2 \cdot 2}}$

Langkah 5.1.3.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 5.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 5.1.3.3

Kalikan ${(x + 4)}^{2}$ dengan $1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 5.1.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = x + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 4$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 5.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 5.1.4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 4$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 5.1.5

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.5.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 5.1.5.2

Faktorkan $x + 4$ dari ${(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.5.2.1

Faktorkan $x + 4$ dari ${(x + 4)}^{2}$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4) - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 5.1.5.2.2

Faktorkan $x + 4$ dari $- 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 5.1.5.2.3

Faktorkan $x + 4$ dari $(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Langkah 5.1.6

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.6.1

Faktorkan $x + 4$ dari ${(x + 4)}^{4}$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Langkah 5.1.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Langkah 5.1.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$4 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 5.1.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 5.1.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 5.1.9

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (1 + 0)}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 5.1.10

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.10.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x \cdot 1}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 5.1.10.2

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 5.1.10.3

Kurangi $2 x$ dengan $x$ .

$4 \frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 5.1.10.4

Gabungkan $4$ dan $\frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$\frac{4 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 5.1.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.11.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{4 (- x) + 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 5.1.11.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.11.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$\frac{- 4 x + 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 5.1.11.2.2

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$\frac{- 4 x + 16}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 5.1.11.3

Faktorkan $4$ dari $- 4 x + 16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.11.3.1

Faktorkan $4$ dari $- 4 x$ .

$\frac{4 (- x) + 16}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 5.1.11.3.2

Faktorkan $4$ dari $16$ .

$\frac{4 (- x) + 4 (4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 5.1.11.3.3

Faktorkan $4$ dari $4 (- x) + 4 (4)$ .

$\frac{4 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 5.1.11.4

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$\frac{4 (- (x) + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 5.1.11.5

Tulis kembali $4$ sebagai $- 1 (- 4)$ .

$\frac{4 (- (x) - 1 (- 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 5.1.11.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{4 (- (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 5.1.11.7

Tulis kembali $- (x - 4)$ sebagai $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{4 (- 1 (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 5.1.11.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = - \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 5.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 6

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}} = 0$

Langkah 6.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$4 (x - 4) = 0$

Langkah 6.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Bagi setiap suku pada $4 (x - 4) = 0$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Bagilah setiap suku di $4 (x - 4) = 0$ dengan $4$ .

$\frac{4 (x - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Langkah 6.3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 (x - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Langkah 6.3.1.2.1.2

Bagilah $x - 4$ dengan $1$ .

$x - 4 = \frac{0}{4}$

Langkah 6.3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.3.1

Bagilah $0$ dengan $4$ .

$x - 4 = 0$

Langkah 6.3.2

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 4$

Langkah 7

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Atur penyebut dalam $\frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

${(x + 4)}^{3} = 0$

Langkah 7.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Atur $x + 4$ agar sama dengan $0$ .

$x + 4 = 0$

Langkah 7.2.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 4$

Langkah 8

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 4$

Langkah 9

Evaluasi turunan kedua pada $x = 4$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{8 ((4) - 8)}{{((4) + 4)}^{4}}$

Langkah 10

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kurangi $8$ dengan $4$ .

$\frac{8 \cdot - 4}{{(4 + 4)}^{4}}$

Langkah 10.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Tambahkan $4$ dan $4$ .

$\frac{8 \cdot - 4}{8^{4}}$

Langkah 10.2.2

Naikkan $8$ menjadi pangkat $4$ .

$\frac{8 \cdot - 4}{4096}$

Langkah 10.3

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Kalikan $8$ dengan $- 4$ .

$\frac{- 32}{4096}$

Langkah 10.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 32$ dan $4096$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.2.1

Faktorkan $32$ dari $- 32$ .

$\frac{32 (- 1)}{4096}$

Langkah 10.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.2.2.1

Faktorkan $32$ dari $4096$ .

$\frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 128}$

Langkah 10.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 128}$

Langkah 10.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{128}$

Langkah 10.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{128}$

Langkah 11

$x = 4$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 4$ adalah maksimum lokal

Langkah 12

Tentukan nilai y ketika $x = 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$f (4) = \frac{4 (4)}{{((4) + 4)}^{2}}$

Langkah 12.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$f (4) = \frac{16}{{(4 + 4)}^{2}}$

Langkah 12.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.2.1

Tambahkan $4$ dan $4$ .

$f (4) = \frac{16}{8^{2}}$

Langkah 12.2.2.2

Naikkan $8$ menjadi pangkat $2$ .

$f (4) = \frac{16}{64}$

Langkah 12.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $16$ dan $64$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.1

Faktorkan $16$ dari $16$ .

$f (4) = \frac{16 (1)}{64}$

Langkah 12.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.2.1

Faktorkan $16$ dari $64$ .

$f (4) = \frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4}$

Langkah 12.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (4) = \frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4}$

Langkah 12.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (4) = \frac{1}{4}$

Langkah 12.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{1}{4}$

Langkah 13

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = \frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$ .

$(4, \frac{1}{4})$ adalah maksimum lokal

Langkah 14