Kalkulus Contoh

$r^{2} \cos (2 θ) = 1$

Langkah 1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Sederhanakan $r^{2} \cos (2 θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Gunakan identitas sudut ganda untuk mengubah $\cos (2 x)$ menjadi $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$r^{2} (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 1$

Langkah 1.1.2

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$r^{2} (2 \cos^{2} (θ)) + r^{2} \cdot - 1 = 1$

Langkah 1.1.2.2

Susun kembali.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \cdot - 1 = 1$

Langkah 1.1.2.2.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $r^{2}$ .

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) - 1 \cdot r^{2} = 1$

Langkah 1.1.3

Tulis kembali $- 1 r^{2}$ sebagai $- r^{2}$ .

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} = 1$

Langkah 2

Karena $\cos (θ) = \frac{x}{r}$ , ganti $\cos (θ)$ dengan $\frac{x}{r}$ .

$2 r^{2} {(\frac{x}{r})}^{2} - r^{2} = 1$

Langkah 3

Karena $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ , ganti $r^{2}$ dengan $x^{2} + y^{2}$ dan $r$ dengan $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Langkah 4

Tulis dalam bentuk baku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Sederhanakan $2 (x^{2} + y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Langkah 4.1.1.1.2

Kalikan $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ dengan $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Langkah 4.1.1.1.3

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1.3.1

Kalikan $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ dengan $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Langkah 4.1.1.1.3.2

Naikkan $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ menjadi pangkat $1$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Langkah 4.1.1.1.3.3

Naikkan $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ menjadi pangkat $1$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Langkah 4.1.1.1.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1 + 1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Langkah 4.1.1.1.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Langkah 4.1.1.1.3.6

Tulis kembali ${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ sebagai $x^{2} + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1.3.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ sebagai ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Langkah 4.1.1.1.3.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Langkah 4.1.1.1.3.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Langkah 4.1.1.1.3.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1.3.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Langkah 4.1.1.1.3.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Langkah 4.1.1.1.3.6.5

Sederhanakan.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Langkah 4.1.1.1.4

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1.4.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{{(x \sqrt{x^{2} + y^{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Langkah 4.1.1.1.4.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $x \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Langkah 4.1.1.1.5

Tulis kembali ${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ sebagai $x^{2} + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ sebagai ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Langkah 4.1.1.1.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Langkah 4.1.1.1.5.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Langkah 4.1.1.1.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Langkah 4.1.1.1.5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Langkah 4.1.1.1.5.5

Sederhanakan.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Langkah 4.1.1.1.6

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2} + y^{2}$ dan ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1.6.1

Faktorkan $x^{2} + y^{2}$ dari $x^{2} (x^{2} + y^{2})$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Langkah 4.1.1.1.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1.6.2.1

Faktorkan $x^{2} + y^{2}$ dari ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Langkah 4.1.1.1.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Langkah 4.1.1.1.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Langkah 4.1.1.1.7

Kalikan $2 x^{2} + 2 y^{2}$ dengan $\frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2 y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Langkah 4.1.1.1.8

Faktorkan $2$ dari $2 x^{2} + 2 y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1.8.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{2}$ .

$\frac{(2 (x^{2}) + 2 y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Langkah 4.1.1.1.8.2

Faktorkan $2$ dari $2 y^{2}$ .

$\frac{(2 (x^{2}) + 2 (y^{2})) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Langkah 4.1.1.1.8.3

Faktorkan $2$ dari $2 (x^{2}) + 2 (y^{2})$ .

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Langkah 4.1.1.1.9

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1.9.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Langkah 4.1.1.1.9.2

Bagilah $2 x^{2}$ dengan $1$ .

$2 x^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Langkah 4.1.1.1.10

Terapkan sifat distributif.

$2 x^{2} - x^{2} - y^{2} = 1$

Langkah 4.1.1.2

Kurangi $x^{2}$ dengan $2 x^{2}$ .

$x^{2} - y^{2} = 1$

Langkah 4.1.2

Kurangkan $x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- y^{2} = 1 - x^{2}$

Langkah 4.1.3

Bagi setiap suku pada $- y^{2} = 1 - x^{2}$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Bagilah setiap suku di $- y^{2} = 1 - x^{2}$ dengan $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Langkah 4.1.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Langkah 4.1.3.2.2

Bagilah $y^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Langkah 4.1.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.3.1.1

Bagilah $1$ dengan $- 1$ .

$y^{2} = - 1 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Langkah 4.1.3.3.1.2

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$y^{2} = - 1 + \frac{x^{2}}{1}$

Langkah 4.1.3.3.1.3

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} = - 1 + x^{2}$

Langkah 4.1.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$

Langkah 4.1.5

Sederhanakan $\pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 1^{2} + x^{2}}$

Langkah 4.1.5.1.2

Susun kembali $- 1^{2}$ dan $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

Langkah 4.1.5.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$y = \pm \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Langkah 4.1.6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Langkah 4.1.6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Langkah 4.1.6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Langkah 4.2

Untuk menulis polinomial dalam bentuk baku, sederhanakan dan kemudian susun suku-sukunya dalam urutan turun.

$y = a x^{2} + b x + c$

Langkah 4.3

Bentuk bakunya adalah $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}, - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ .

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Langkah 5