Kalkulus Contoh

$f (x, y) = x^{2} + y^{2} - x y + 10 x - 2 y + 5$

Langkah 1

Tulis $f (x, y) - x^{2} - y^{2} + x y - 10 x + 2 y - 5 = 0$ sebagai fungsi.

$f (x) = f (x, y) - x^{2} - y^{2} + x y - 10 x + 2 y - 5$

Langkah 2

Pindahkan semua pernyataan ke sisi kiri dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kurangkan $x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$f (x, y) - x^{2} = y^{2} - x y + 10 x - 2 y + 5$

Langkah 2.2

Kurangkan $y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$f (x, y) - x^{2} - y^{2} = - x y + 10 x - 2 y + 5$

Langkah 2.3

Tambahkan $x y$ ke kedua sisi persamaan.

$f (x, y) - x^{2} - y^{2} + x y = 10 x - 2 y + 5$

Langkah 2.4

Kurangkan $10 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$f (x, y) - x^{2} - y^{2} + x y - 10 x = - 2 y + 5$

Langkah 2.5

Tambahkan $2 y$ ke kedua sisi persamaan.

$f (x, y) - x^{2} - y^{2} + x y - 10 x + 2 y = 5$

Langkah 2.6

Kurangkan $5$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$f (x, y) - x^{2} - y^{2} + x y - 10 x + 2 y - 5 = 0$

Langkah 3

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $f (x, y) - x^{2} - y^{2} + x y - 10 x + 2 y - 5$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 3.2

Kalikan $f$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - (2 x) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 3.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 3.4

Karena $- y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 3.5

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 3.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 3.5.3

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + y + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 3.6

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Karena $- 10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 10 x$ terhadap $x$ adalah $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + y - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 3.6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + y - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 3.6.3

Kalikan $- 10$ dengan $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + y - 10 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 3.7

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Karena $2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + y - 10 + 0 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 3.7.2

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + y - 10 + 0 + 0$

Langkah 3.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1.1

Tambahkan $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x$ dan $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + y - 10 + 0 + 0$

Langkah 3.8.1.2

Tambahkan $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + y - 10$ dan $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + y - 10 + 0$

Langkah 3.8.1.3

Tambahkan $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + y - 10$ dan $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + y - 10$

Langkah 3.8.2

Susun kembali suku-suku.

$- 2 x + y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 10$

Langkah 4

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 2 x + y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 10$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Langkah 4.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Langkah 4.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Langkah 4.2.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Langkah 4.3

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Langkah 4.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Batalkan faktor persekutuan dari $d$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Langkah 4.4.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Langkah 4.4.2

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Langkah 4.4.3

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.3.1.1

Faktorkan $x$ dari $f x$ .

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Langkah 4.4.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Langkah 4.4.3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Langkah 4.4.3.2

Kalikan $\frac{1}{x} (f y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.3.2.1

Gabungkan $f$ dan $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y)) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Langkah 4.4.3.2.2

Gabungkan $\frac{f}{x}$ dan $y$ .

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Langkah 4.5

Karena $- 10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 10$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Langkah 4.6

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Tambahkan $- 2$ dan $0$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Langkah 4.6.2

Tambahkan $- 2 + \frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ dan $0$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

Langkah 5

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- 2 x + y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 10 = 0$

Langkah 6

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 6.1.2

Kalikan $f$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 6.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 6.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - (2 x) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 6.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 6.1.4

Karena $- y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 6.1.5

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.5.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 6.1.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 6.1.5.3

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + y + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 6.1.6

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.6.1

Karena $- 10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 10 x$ terhadap $x$ adalah $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + y - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 6.1.6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + y - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 6.1.6.3

Kalikan $- 10$ dengan $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + y - 10 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 6.1.7

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.7.1

Karena $2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + y - 10 + 0 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 6.1.7.2

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 0 + y - 10 + 0 + 0$

Langkah 6.1.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.8.1

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.8.1.1

Tambahkan $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x$ dan $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + y - 10 + 0 + 0$

Langkah 6.1.8.1.2

Tambahkan $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + y - 10$ dan $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + y - 10 + 0$

Langkah 6.1.8.1.3

Tambahkan $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + y - 10$ dan $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + y - 10$

Langkah 6.1.8.2

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - 2 x + y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 10$

Langkah 6.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 x + y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 10$ .

$- 2 x + y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 10$

Langkah 7

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 2 x + y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 10 = 0$

Langkah 8

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Atur penyebut dalam $\frac{d}{d x}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$d x = 0$

Langkah 8.2

Bagi setiap suku pada $d x = 0$ dengan $d$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Bagilah setiap suku di $d x = 0$ dengan $d$ .

$\frac{d x}{d} = \frac{0}{d}$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $d$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d x}{d} = \frac{0}{d}$

Langkah 8.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{d}$

Langkah 8.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1

Bagilah $0$ dengan $d$ .

$x = 0$

Langkah 9

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 0$

Langkah 10

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 2 + \frac{d}{d (0)} ((f, \frac{f y}{0}))$

Langkah 11

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kalikan $d$ dengan $0$ .

$- 2 + \frac{d}{0} (f, \frac{f y}{0})$

Langkah 11.2

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 12

Karena uji turunan pertama tidak berhasil, maka tidak ada ekstrem lokal.

Tidak Ada Ekstrem Lokal

Langkah 13