Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \cos (x)}{4 \sin (x)}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - \cos (x)}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Langkah 1.2.2

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Langkah 1.2.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Langkah 1.2.4

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{e^{0} - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Langkah 1.2.4.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{e^{0} - \cos (0)}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Langkah 1.2.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Langkah 1.2.5.1.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Langkah 1.2.5.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Langkah 1.2.5.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Pindahkan suku $4$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Langkah 1.3.1.2

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{0}{4 \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{4 \sin (0)}$

Langkah 1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{4 \cdot 0}$

Langkah 1.3.3.2

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \cos (x)}{4 \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x} - \cos (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Langkah 3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Langkah 3.4.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Langkah 3.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Langkah 3.4.4

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Langkah 3.5

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x)}{4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 3.6

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x)}{4 \cos (x)}$

Langkah 4

Pindahkan suku $\frac{1}{4}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x)}{\cos (x)}$

Langkah 5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} e^{x} + \sin (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Langkah 6

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Langkah 7

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Langkah 8

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Langkah 9

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 10

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{0} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 10.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{0} + \sin (0)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 10.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{0} + \sin (0)}{\cos (0)}$

Langkah 11

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + \sin (0)}{\cos (0)}$

Langkah 11.1.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + 0}{\cos (0)}$

Langkah 11.1.3

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Langkah 11.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1}$

Langkah 11.3

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1}$

Langkah 11.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Langkah 11.4

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{4}$