Kalkulus Contoh

$6 x^{5} - 15 x^{4} + 10 x^{3}$

Langkah 1

Tulis $6 x^{5} - 15 x^{4} + 10 x^{3}$ sebagai fungsi.

$f (x) = 6 x^{5} - 15 x^{4} + 10 x^{3}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 x^{5} - 15 x^{4} + 10 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x^{5}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$

Langkah 2.1.2.3

Kalikan $5$ dengan $6$ .

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 15 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- 15$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 15 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $- 15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$30 x^{4} - 15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$30 x^{4} - 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $4$ dengan $- 15$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$

Langkah 2.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [10 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Karena $10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $10 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} + 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} + 10 (3 x^{2})$

Langkah 2.1.4.3

Kalikan $3$ dengan $10$ .

$f' (x) = 30 x^{4} - 60 x^{3} + 30 x^{2}$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $30 x^{4} - 60 x^{3} + 30 x^{2}$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} + 30 x^{2}$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $30 x^{4} - 60 x^{3} + 30 x^{2} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} + 30 x^{2} = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $30 x^{2}$ dari $30 x^{4} - 60 x^{3} + 30 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Faktorkan $30 x^{2}$ dari $30 x^{4}$ .

$30 x^{2} (x^{2}) - 60 x^{3} + 30 x^{2} = 0$

Langkah 3.2.1.2

Faktorkan $30 x^{2}$ dari $- 60 x^{3}$ .

$30 x^{2} (x^{2}) + 30 x^{2} (- 2 x) + 30 x^{2} = 0$

Langkah 3.2.1.3

Faktorkan $30 x^{2}$ dari $30 x^{2}$ .

$30 x^{2} (x^{2}) + 30 x^{2} (- 2 x) + 30 x^{2} (1) = 0$

Langkah 3.2.1.4

Faktorkan $30 x^{2}$ dari $30 x^{2} (x^{2}) + 30 x^{2} (- 2 x)$ .

$30 x^{2} (x^{2} - 2 x) + 30 x^{2} (1) = 0$

Langkah 3.2.1.5

Faktorkan $30 x^{2}$ dari $30 x^{2} (x^{2} - 2 x) + 30 x^{2} (1)$ .

$30 x^{2} (x^{2} - 2 x + 1) = 0$

Langkah 3.2.2

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$30 x^{2} (x^{2} - 2 x + 1^{2}) = 0$

Langkah 3.2.2.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Langkah 3.2.2.3

Tulis kembali polinomialnya.

$30 x^{2} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Langkah 3.2.2.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$30 x^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Langkah 3.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Langkah 3.4

Atur $x^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Atur $x^{2}$ sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

Langkah 3.4.2

Selesaikan $x^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 3.4.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 3.4.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 3.4.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 3.5

Atur ${(x - 1)}^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Atur ${(x - 1)}^{2}$ sama dengan $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Langkah 3.5.2

Selesaikan ${(x - 1)}^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 3.5.2.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 3.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $30 x^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ benar.

$x = 0, 1$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0, 1$ .

$0, 1$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1) = 30 {(- 1)}^{4} - 60 {(- 1)}^{3} + 30 {(- 1)}^{2}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $4$ .

$f' (- 1) = 30 \cdot 1 - 60 {(- 1)}^{3} + 30 {(- 1)}^{2}$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $30$ dengan $1$ .

$f' (- 1) = 30 - 60 {(- 1)}^{3} + 30 {(- 1)}^{2}$

Langkah 6.2.1.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- 1) = 30 - 60 \cdot - 1 + 30 {(- 1)}^{2}$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $- 60$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = 30 + 60 + 30 {(- 1)}^{2}$

Langkah 6.2.1.5

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 1) = 30 + 60 + 30 \cdot 1$

Langkah 6.2.1.6

Kalikan $30$ dengan $1$ .

$f' (- 1) = 30 + 60 + 30$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Tambahkan $30$ dan $60$ .

$f' (- 1) = 90 + 30$

Langkah 6.2.2.2

Tambahkan $90$ dan $30$ .

$f' (- 1) = 120$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $120$ .

$120$

Langkah 6.3

Pada $x = - 1$ , turunannya adalah $120$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, 0)$ .

Meningkat pada $(- \infty, 0)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, 1)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{1}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f' (\frac{1}{2}) = 30 {(\frac{1}{2})}^{4} - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 30 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (\frac{1}{2}) = 30 (\frac{1}{2^{4}}) - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 30 (\frac{1}{16}) - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $30$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (15) (\frac{1}{16}) - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.4.2

Faktorkan $2$ dari $16$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (15 (\frac{1}{2 \cdot 8})) - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (15 (\frac{1}{2 \cdot 8})) - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{8}) - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.5

Gabungkan $15$ dan $\frac{1}{8}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.6

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - 60 \frac{1^{3}}{2^{3}} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.7

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - 60 \frac{1}{2^{3}} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.8

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - 60 (\frac{1}{8}) + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.9

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.9.1

Faktorkan $4$ dari $- 60$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} + 4 (- 15) (\frac{1}{8}) + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.9.2

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} + 4 \cdot (- 15 \frac{1}{4 \cdot 2}) + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.9.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} + 4 \cdot (- 15 \frac{1}{4 \cdot 2}) + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.9.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - 15 (\frac{1}{2}) + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.10

Gabungkan $- 15$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} + \frac{- 15}{2} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.12

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 30 (\frac{1^{2}}{2^{2}})$

Langkah 7.2.1.13

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 30 (\frac{1}{2^{2}})$

Langkah 7.2.1.14

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 30 (\frac{1}{4})$

Langkah 7.2.1.15

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.15.1

Faktorkan $2$ dari $30$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 2 (15) (\frac{1}{4})$

Langkah 7.2.1.15.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 2 \cdot (15 (\frac{1}{2 \cdot 2}))$

Langkah 7.2.1.15.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 2 \cdot (15 (\frac{1}{2 \cdot 2}))$

Langkah 7.2.1.15.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 15 (\frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.16

Gabungkan $15$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + \frac{15}{2}$

Langkah 7.2.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} + \frac{- 15 + 15}{2}$

Langkah 7.2.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1

Tambahkan $- 15$ dan $15$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} + \frac{0}{2}$

Langkah 7.2.2.2.2

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} + 0$

Langkah 7.2.2.2.3

Tambahkan $\frac{15}{8}$ dan $0$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8}$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{15}{8}$ .

$\frac{15}{8}$

Langkah 7.3

Pada $x = \frac{1}{2}$ , turunannya adalah $\frac{15}{8}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(0, 1)$ .

Meningkat pada $(0, 1)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(1, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = 30 {(2)}^{4} - 60 {(2)}^{3} + 30 {(2)}^{2}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$f' (2) = 30 \cdot 16 - 60 {(2)}^{3} + 30 {(2)}^{2}$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $30$ dengan $16$ .

$f' (2) = 480 - 60 {(2)}^{3} + 30 {(2)}^{2}$

Langkah 8.2.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (2) = 480 - 60 \cdot 8 + 30 {(2)}^{2}$

Langkah 8.2.1.4

Kalikan $- 60$ dengan $8$ .

$f' (2) = 480 - 480 + 30 {(2)}^{2}$

Langkah 8.2.1.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (2) = 480 - 480 + 30 \cdot 4$

Langkah 8.2.1.6

Kalikan $30$ dengan $4$ .

$f' (2) = 480 - 480 + 120$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Kurangi $480$ dengan $480$ .

$f' (2) = 0 + 120$

Langkah 8.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $120$ .

$f' (2) = 120$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $120$ .

$120$

Langkah 8.3

Pada $x = 2$ , turunannya adalah $120$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(1, \infty)$ .

Meningkat pada $(1, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 9

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, 0), (0, 1), (1, \infty)$

Langkah 10