Kalkulus Contoh

$f (x) = x - \cos (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 1.1.2.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$1 - - \sin (x)$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 + 1 \sin (x)$

Langkah 1.1.2.4

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$f' (x) = 1 + \sin (x)$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $1 + \sin (x)$ .

$1 + \sin (x)$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $1 + \sin (x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$1 + \sin (x) = 0$

Langkah 2.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\sin (x) = - 1$

Langkah 2.3

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (- 1)$

Langkah 2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Nilai eksak dari $\arcsin (- 1)$ adalah $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Langkah 2.5

Fungsi sinus negatif pada kuadran ketiga dan keempat. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi penyelesaian dari $2 π$ , untuk mencari sudut acuan. Selanjutnya, tambahkan sudut acuan ini ke $π$ untuk mencari penyelesaian pada kuadran ketiga.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Langkah 2.6

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Langkah 2.6.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{3 π}{2}$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 2.7

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 2.7.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 2.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 2.7.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 2.8

Tambahkan $2 π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Tambahkan $2 π$ ke $- \frac{π}{2}$ untuk menentukan sudut positif.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Langkah 2.8.2

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 2.8.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.3.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 2.8.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 2.8.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.4.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Langkah 2.8.4.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Langkah 2.8.5

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 2.9

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2.10

Gabungkan jawabannya.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ .

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$

Langkah 4

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = 1 + \sin (x)$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = x - \cos (x)$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1) = 1 + \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

Langkah 5.2

Jawaban akhirnya adalah $1 + \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$ .

$1 + \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

$1 + \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

Langkah 5.4

Pada $x = \frac{3 π}{2} + 2 π n - 1$ , turunannya adalah $1 + \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ .

Menurun pada $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1) = 1 + \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

Langkah 6.2

Jawaban akhirnya adalah $1 + \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$ .

$1 + \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$1 + \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

Langkah 6.4

Pada $x = \frac{3 π}{2} + 2 π n + 1$ , turunannya adalah $1 + \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ .

Meningkat pada $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$

Langkah 8