Kalkulus Contoh

$y = {(x^{3} - 2 x)}^{2}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = x^{3} - 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{3} - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]$

Langkah 1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{3} - 2 x$ .

$2 (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} - 2 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$2 (x^{3} - 2 x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$2 (x^{3} - 2 x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Langkah 1.2.3

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x^{3} - 2 x) (3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 (x^{3} - 2 x) (3 x^{2} - 2 \cdot 1)$

Langkah 1.2.5

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$2 (x^{3} - 2 x) (3 x^{2} - 2)$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$(2 x^{3} + 2 (- 2 x)) (3 x^{2} - 2)$

Langkah 1.3.2

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$(2 x^{3} - 4 x) (3 x^{2} - 2)$

Langkah 1.3.3

Perluas $(2 x^{3} - 4 x) (3 x^{2} - 2)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Terapkan sifat distributif.

$2 x^{3} (3 x^{2} - 2) - 4 x (3 x^{2} - 2)$

Langkah 1.3.3.2

Terapkan sifat distributif.

$2 x^{3} (3 x^{2}) + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2} - 2)$

Langkah 1.3.3.3

Terapkan sifat distributif.

$2 x^{3} (3 x^{2}) + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

Langkah 1.3.4

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 \cdot 3 x^{3} x^{2} + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

Langkah 1.3.4.1.2

Kalikan $x^{3}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1.2.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$2 \cdot 3 (x^{2} x^{3}) + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

Langkah 1.3.4.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 \cdot 3 x^{2 + 3} + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

Langkah 1.3.4.1.2.3

Tambahkan $2$ dan $3$ .

$2 \cdot 3 x^{5} + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

Langkah 1.3.4.1.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$6 x^{5} + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

Langkah 1.3.4.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

Langkah 1.3.4.1.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 2$

Langkah 1.3.4.1.6

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1.6.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 (x^{2} x) - 4 x \cdot - 2$

Langkah 1.3.4.1.6.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1.6.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 (x^{2} x^{1}) - 4 x \cdot - 2$

Langkah 1.3.4.1.6.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 x^{2 + 1} - 4 x \cdot - 2$

Langkah 1.3.4.1.6.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 x^{3} - 4 x \cdot - 2$

Langkah 1.3.4.1.7

Kalikan $- 4$ dengan $3$ .

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 12 x^{3} - 4 x \cdot - 2$

Langkah 1.3.4.1.8

Kalikan $- 2$ dengan $- 4$ .

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 12 x^{3} + 8 x$

Langkah 1.3.4.2

Kurangi $12 x^{3}$ dengan $- 4 x^{3}$ .

$f' (x) = 6 x^{5} - 16 x^{3} + 8 x$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 x^{5} - 16 x^{3} + 8 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x^{5}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $5$ dengan $6$ .

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 16 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$30 x^{4} - 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$30 x^{4} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $3$ dengan $- 16$ .

$30 x^{4} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 x$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 x^{4} - 48 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$30 x^{4} - 48 x^{2} + 8 \cdot 1$

Langkah 2.4.3

Kalikan $8$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 48 x^{2} + 8$

Langkah 3

Tentukan turunan ketiganya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $30 x^{4} - 48 x^{2} + 8$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [30 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [30 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [30 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $30$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $30 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $30 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$30 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$30 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Langkah 3.2.3

Kalikan $4$ dengan $30$ .

$120 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $- 48$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 48 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$120 x^{3} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$120 x^{3} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [8]$

Langkah 3.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 48$ .

$120 x^{3} - 96 x + \frac{d}{d x} [8]$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$120 x^{3} - 96 x + 0$

Langkah 3.4.2

Tambahkan $120 x^{3} - 96 x$ dan $0$ .

$f''' (x) = 120 x^{3} - 96 x$