Kalkulus Contoh

$x^{2} - x - \ln (x)$

Langkah 1

Tulis $x^{2} - x - \ln (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$

Langkah 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - x - \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 2.1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 2.1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 2.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 2.1.1.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 2.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 2.1.1.3.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

Langkah 2.1.1.4

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x} - 1$

Langkah 2.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - \frac{1}{x} - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.1.2.2.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = - 1$ dan $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.1.2.3.2

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$2 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.1.2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$2 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.1.2.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.1.2.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$2 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.1.2.3.6

Kalikan $x^{- 2}$ dengan $1$ .

$2 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.1.2.3.7

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $0$ .

$2 + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.1.2.3.8

Tambahkan $x^{- 2}$ dan $0$ .

$2 + x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.1.2.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 + x^{- 2} + 0$

Langkah 2.1.2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + \frac{1}{x^{2}} + 0$

Langkah 2.1.2.5.2

Tambahkan $2 + \frac{1}{x^{2}}$ dan $0$ .

$2 + \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 2.1.2.5.3

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$

Langkah 2.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x^{2}} + 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 2$

Langkah 2.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{1}{x^{2}} + 2 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 2 = 0$

Langkah 2.2.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{1}{x^{2}} = - 2$

Langkah 2.2.3

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$x^{2}, 1$

Langkah 2.2.3.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$x^{2}$

Langkah 2.2.4

Kalikan setiap suku pada $\frac{1}{x^{2}} = - 2$ dengan $x^{2}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{1}{x^{2}} = - 2$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Langkah 2.2.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Langkah 2.2.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = - 2 x^{2}$

Langkah 2.2.5

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 2 x^{2} = 1$ .

$- 2 x^{2} = 1$

Langkah 2.2.5.2

Bagi setiap suku pada $- 2 x^{2} = 1$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.2.1

Bagilah setiap suku di $- 2 x^{2} = 1$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Langkah 2.2.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Langkah 2.2.5.2.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{- 2}$

Langkah 2.2.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

Langkah 2.2.5.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Langkah 2.2.5.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.4.1

Tulis kembali $- \frac{1}{2}$ sebagai $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.4.1.1

Tulis kembali $- 1$ sebagai $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Langkah 2.2.5.4.1.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Langkah 2.2.5.4.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Langkah 2.2.5.4.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Langkah 2.2.5.4.4

Tulis kembali $\sqrt{\frac{1}{2}}$ sebagai $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Langkah 2.2.5.4.5

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Langkah 2.2.5.4.6

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Langkah 2.2.5.4.7

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.4.7.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 2.2.5.4.7.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Langkah 2.2.5.4.7.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Langkah 2.2.5.4.7.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Langkah 2.2.5.4.7.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Langkah 2.2.5.4.7.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.4.7.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 2.2.5.4.7.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 2.2.5.4.7.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 2.2.5.4.7.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.4.7.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 2.2.5.4.7.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Langkah 2.2.5.4.7.6.5

Evaluasi eksponennya.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 2.2.5.4.8

Gabungkan $i$ dan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Langkah 2.2.5.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Langkah 2.2.5.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Langkah 2.2.5.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Langkah 3

Tentukan domain dari $f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur argumen dalam $\ln (x)$ agar lebih besar dari $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$x > 0$

Langkah 3.2

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x > 0}$

Notasi Interval:

$(0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x > 0}$

Langkah 4

Buat interval di sekitar nilai $x$ saat turunan keduanya bernilai nol atau tak hingga.

$(0, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (2) = \frac{1}{{(2)}^{2}} + 2$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (2) = \frac{1}{4} + 2$

Langkah 5.2.2

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$f'' (2) = \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 5.2.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{4}{4}$ .

$f'' (2) = \frac{1}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Langkah 5.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (2) = \frac{1 + 2 \cdot 4}{4}$

Langkah 5.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.1

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$f'' (2) = \frac{1 + 8}{4}$

Langkah 5.2.5.2

Tambahkan $1$ dan $8$ .

$f'' (2) = \frac{9}{4}$

Langkah 5.2.6

Jawaban akhirnya adalah $\frac{9}{4}$ .

$\frac{9}{4}$

Langkah 5.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(0, \infty)$ karena $f'' (2)$ positif.

Cekung ke atas pada $(0, \infty)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 6