Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} \frac{7 x^{2}}{x - x^{3}}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 x^{2}}{lim_{x \to \infty} x - x^{3}}$

Langkah 1.2

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x - x^{3}}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Susun kembali $x$ dan $- x^{3}$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - x^{3} + x}$

Langkah 1.3.2

Limit tak hingga dari Polinomial yang koefisien pertamanya negatif adalah tak hingga negatif.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Langkah 1.3.3

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{- \infty}$

Langkah 1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{- \infty}$

Langkah 2

Karena $\frac{\infty}{- \infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{7 x^{2}}{x - x^{3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

Langkah 3.2

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{7 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{7 (2 x)}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

Langkah 3.4

Kalikan $2$ dengan $7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

Langkah 3.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - x^{3}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Langkah 3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Langkah 3.7

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{1 - \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Langkah 3.7.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{1 - (3 x^{2})}$

Langkah 3.7.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{1 - 3 x^{2}}$

Langkah 3.8

Susun kembali suku-suku.

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{- 3 x^{2} + 1}$

Langkah 4

Pindahkan suku $14$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{x}{- 3 x^{2} + 1}$

Langkah 5

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari $x$ dalam penyebut, yaitu $x^{2}$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x^{2}}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Langkah 6

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{1}}{x^{2}}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Langkah 6.1.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Langkah 6.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Langkah 6.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Langkah 6.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Langkah 6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Langkah 6.2.2

Bagilah $- 3$ dengan $1$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{- 3 + \frac{1}{x^{2}}}$

Langkah 6.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$14 \frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} - 3 + \frac{1}{x^{2}}}$

Langkah 7

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$14 \frac{0}{lim_{x \to \infty} - 3 + \frac{1}{x^{2}}}$

Langkah 8

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$14 \frac{0}{- lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Langkah 8.2

Evaluasi limit dari $3$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$14 \frac{0}{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Langkah 9

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x^{2}}$ mendekati $0$ .

$14 \frac{0}{- 3 + 0}$

Langkah 10

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $- 3 + 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$14 \frac{3 (0)}{- 3 + 0}$

Langkah 10.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $- 3$ .

$14 \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot - 1 + 0}$

Langkah 10.1.2.2

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$14 \frac{3 (0)}{3 \cdot - 1 + 3 \cdot 0}$

Langkah 10.1.2.3

Faktorkan $3$ dari $3 \cdot - 1 + 3 \cdot 0$ .

$14 \frac{3 (0)}{3 \cdot (- 1 + 0)}$

Langkah 10.1.2.4

Batalkan faktor persekutuan.

$14 \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot (- 1 + 0)}$

Langkah 10.1.2.5

Tulis kembali pernyataannya.

$14 \frac{0}{- 1 + 0}$

Langkah 10.2

Tambahkan $- 1$ dan $0$ .

$14 (\frac{0}{- 1})$

Langkah 10.3

Bagilah $0$ dengan $- 1$ .

$14 \cdot 0$

Langkah 10.4

Kalikan $14$ dengan $0$ .

$0$