Kalkulus Contoh

$\frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{3}}$

Langkah 1

Tulis $\frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{3}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{3}}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = {(x - 2)}^{3}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{({(x - 2)}^{3})}^{2}}$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Kalikan eksponen dalam ${({(x - 2)}^{3})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{3 \cdot 2}}$

Langkah 2.1.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{3} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Langkah 2.1.2.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri ${(x - 2)}^{3}$ .

$\frac{2 \cdot {(x - 2)}^{3} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = x - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 2$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Langkah 2.1.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 2$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - x^{2} (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Langkah 2.1.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Langkah 2.1.4.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))}{{(x - 2)}^{6}}$

Langkah 2.1.4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))}{{(x - 2)}^{6}}$

Langkah 2.1.4.4

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} (1 + 0))}{{(x - 2)}^{6}}$

Langkah 2.1.4.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.5.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} \cdot 1)}{{(x - 2)}^{6}}$

Langkah 2.1.4.5.2

Kalikan ${(x - 2)}^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{6}}$

Langkah 2.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1.1

Faktorkan ${(x - 2)}^{2} x$ dari $2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} {(x - 2)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1.1.1

Faktorkan ${(x - 2)}^{2} x$ dari $2 {(x - 2)}^{3} x$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 (x - 2)) - 3 x^{2} {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{6}}$

Langkah 2.1.5.1.1.2

Faktorkan ${(x - 2)}^{2} x$ dari $- 3 x^{2} {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} x (- 3 x)}{{(x - 2)}^{6}}$

Langkah 2.1.5.1.1.3

Faktorkan ${(x - 2)}^{2} x$ dari ${(x - 2)}^{2} x (2 (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} x (- 3 x)$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 (x - 2) - 3 x)}{{(x - 2)}^{6}}$

Langkah 2.1.5.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 x + 2 \cdot - 2 - 3 x)}{{(x - 2)}^{6}}$

Langkah 2.1.5.1.3

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 x - 4 - 3 x)}{{(x - 2)}^{6}}$

Langkah 2.1.5.1.4

Kurangi $3 x$ dengan $2 x$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (- x - 4)}{{(x - 2)}^{6}}$

Langkah 2.1.5.2

Hapus faktor persekutuan dari ${(x - 2)}^{2}$ dan ${(x - 2)}^{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.2.1

Faktorkan ${(x - 2)}^{2}$ dari ${(x - 2)}^{2} x (- x - 4)$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x (- x - 4))}{{(x - 2)}^{6}}$

Langkah 2.1.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.2.2.1

Faktorkan ${(x - 2)}^{2}$ dari ${(x - 2)}^{6}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x (- x - 4))}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{4}}$

Langkah 2.1.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x (- x - 4))}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{4}}$

Langkah 2.1.5.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x (- x - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Langkah 2.1.5.3

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$\frac{x (- (x) - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Langkah 2.1.5.4

Tulis kembali $- 4$ sebagai $- 1 (4)$ .

$\frac{x (- (x) - 1 (4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Langkah 2.1.5.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - 1 (4)$ .

$\frac{x (- (x + 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Langkah 2.1.5.6

Tulis kembali $- (x + 4)$ sebagai $- 1 (x + 4)$ .

$\frac{x (- 1 (x + 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Langkah 2.1.5.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = - \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$ .

$- \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}} = 0$

Langkah 3.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$x (x + 4) = 0$

Langkah 3.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

Langkah 3.3.2

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 3.3.3

Atur $x + 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Atur $x + 4$ sama dengan $0$ .

$x + 4 = 0$

Langkah 3.3.3.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 4$

Langkah 3.3.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $x (x + 4) = 0$ benar.

$x = 0, - 4$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0, - 4$ .

$0, - 4$

Langkah 5

Tentukan di mana turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur penyebut dalam $\frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

${(x - 2)}^{4} = 0$

Langkah 5.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 6

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 4)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 5$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 5) = - \frac{(- 5) ((- 5) + 4)}{{((- 5) - 2)}^{4}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Tambahkan $- 5$ dan $4$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 5 \cdot - 1}{{(- 5 - 2)}^{4}}$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Kurangi $2$ dengan $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 5 \cdot - 1}{{(- 7)}^{4}}$

Langkah 7.2.2.2

Naikkan $- 7$ menjadi pangkat $4$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 5 \cdot - 1}{2401}$

Langkah 7.2.3

Kalikan $- 5$ dengan $- 1$ .

$f' (- 5) = - \frac{5}{2401}$

Langkah 7.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{5}{2401}$ .

$- \frac{5}{2401}$

Langkah 7.3

Pada $x = - 5$ , turunannya adalah $- \frac{5}{2401}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, - 4)$ .

Menurun pada $(- \infty, - 4)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(- 4, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = - \frac{(- 2) ((- 2) + 4)}{{((- 2) - 2)}^{4}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Tambahkan $- 2$ dan $4$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 2 \cdot 2}{{(- 2 - 2)}^{4}}$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Kurangi $2$ dengan $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 2 \cdot 2}{{(- 4)}^{4}}$

Langkah 8.2.2.2

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $4$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 2 \cdot 2}{256}$

Langkah 8.2.3

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 4}{256}$

Langkah 8.2.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $256$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.2.1

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$f' (- 2) = - \frac{4 (- 1)}{256}$

Langkah 8.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $256$ .

$f' (- 2) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 64}$

Langkah 8.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (- 2) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 64}$

Langkah 8.2.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (- 2) = - \frac{- 1}{64}$

Langkah 8.2.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- 2) = \frac{1}{64}$

Langkah 8.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1}{64}$ .

$\frac{1}{64}$

Langkah 8.3

Pada $x = - 2$ , turunannya adalah $\frac{1}{64}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- 4, 0)$ .

Meningkat pada $(- 4, 0)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 9

Substitusikan nilai dari interval $(0, 2)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = - \frac{(1) ((1) + 4)}{{((1) - 2)}^{4}}$

Langkah 9.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Kalikan $1 + 4$ dengan $1$ .

$f' (1) = - \frac{1 + 4}{{(1 - 2)}^{4}}$

Langkah 9.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$f' (1) = - \frac{1 + 4}{{(- 1)}^{4}}$

Langkah 9.2.2.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $4$ .

$f' (1) = - \frac{1 + 4}{1}$

Langkah 9.2.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.1

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$f' (1) = - \frac{5}{1}$

Langkah 9.2.3.2

Bagilah $5$ dengan $1$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 5$

Langkah 9.2.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$f' (1) = - 5$

Langkah 9.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- 5$ .

$- 5$

Langkah 9.3

Pada $x = 1$ , turunannya adalah $- 5$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(0, 2)$ .

Menurun pada $(0, 2)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 10

Substitusikan nilai dari interval $(2, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (3) = - \frac{(3) ((3) + 4)}{{((3) - 2)}^{4}}$

Langkah 10.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Tambahkan $3$ dan $4$ .

$f' (3) = - \frac{3 \cdot 7}{{(3 - 2)}^{4}}$

Langkah 10.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$f' (3) = - \frac{3 \cdot 7}{1^{4}}$

Langkah 10.2.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (3) = - \frac{3 \cdot 7}{1}$

Langkah 10.2.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.1

Kalikan $3$ dengan $7$ .

$f' (3) = - \frac{21}{1}$

Langkah 10.2.3.2

Bagilah $21$ dengan $1$ .

$f' (3) = - 1 \cdot 21$

Langkah 10.2.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $21$ .

$f' (3) = - 21$

Langkah 10.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- 21$ .

$- 21$

Langkah 10.3

Pada $x = 3$ , turunannya adalah $- 21$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(2, \infty)$ .

Menurun pada $(2, \infty)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 11

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- 4, 0)$

Menurun pada: $(- \infty, - 4), (0, 2), (2, \infty)$

Langkah 12