Kalkulus Contoh

$2 x - 2 \cos (x)$

Langkah 1

Tulis $2 x - 2 \cos (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = 2 x - 2 \cos (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - 2 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Langkah 2.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 2.1.3.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$2 - 2 (- \sin (x))$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$f' (x) = 2 + 2 \sin (x)$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $2 + 2 \sin (x)$ .

$2 + 2 \sin (x)$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $2 + 2 \sin (x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$2 + 2 \sin (x) = 0$

Langkah 3.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 \sin (x) = - 2$

Langkah 3.3

Bagi setiap suku pada $2 \sin (x) = - 2$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Bagilah setiap suku di $2 \sin (x) = - 2$ dengan $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Langkah 3.3.2.1.2

Bagilah $\sin (x)$ dengan $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 2}{2}$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Bagilah $- 2$ dengan $2$ .

$\sin (x) = - 1$

Langkah 3.4

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (- 1)$

Langkah 3.5

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Nilai eksak dari $\arcsin (- 1)$ adalah $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Langkah 3.6

Fungsi sinus negatif pada kuadran ketiga dan keempat. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi penyelesaian dari $2 π$ , untuk mencari sudut acuan. Selanjutnya, tambahkan sudut acuan ini ke $π$ untuk mencari penyelesaian pada kuadran ketiga.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Langkah 3.7

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Langkah 3.7.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{3 π}{2}$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 3.8

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 3.8.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 3.8.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 3.8.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 3.9

Tambahkan $2 π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Tambahkan $2 π$ ke $- \frac{π}{2}$ untuk menentukan sudut positif.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Langkah 3.9.2

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 3.9.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.3.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 3.9.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 3.9.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.4.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Langkah 3.9.4.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Langkah 3.9.5

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 3.10

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3.11

Gabungkan jawabannya.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ .

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$

Langkah 5

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = 2 + 2 \sin (x)$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = 2 x - 2 \cos (x)$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1) = 2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

Langkah 6.2

Jawaban akhirnya adalah $2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$ .

$2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

Langkah 6.4

Pada $x = \frac{3 π}{2} + 2 π n - 1$ , turunannya adalah $2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ .

Menurun pada $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1) = 2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

Langkah 7.2

Jawaban akhirnya adalah $2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$ .

$2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

$2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

Langkah 7.4

Pada $x = \frac{3 π}{2} + 2 π n + 1$ , turunannya adalah $2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ .

Meningkat pada $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$

Langkah 9