Kalkulus Contoh

$y^{2} = 2 x$ , $x = 2 y$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Substitusikan semua kemunculan $x$ dengan $2 y$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Substitusikan semua kemunculan $x$ dalam $y^{2} = 2 x$ dengan $2 y$ .

$y^{2} = 2 (2 y)$

$x = 2 y$

Langkah 1.1.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y^{2} = 4 y$

$x = 2 y$

$y^{2} = 4 y$

$x = 2 y$

$y^{2} = 4 y$

$x = 2 y$

Langkah 1.2

Selesaikan $y$ dalam $y^{2} = 4 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Kurangkan $4 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{2} - 4 y = 0$

$x = 2 y$

Langkah 1.2.2

Faktorkan $y$ dari $y^{2} - 4 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$y \cdot y - 4 y = 0$

$x = 2 y$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan $y$ dari $- 4 y$ .

$y \cdot y + y \cdot - 4 = 0$

$x = 2 y$

Langkah 1.2.2.3

Faktorkan $y$ dari $y \cdot y + y \cdot - 4$ .

$y (y - 4) = 0$

$x = 2 y$

$y (y - 4) = 0$

$x = 2 y$

Langkah 1.2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$y = 0$

$y - 4 = 0$

$x = 2 y$

Langkah 1.2.4

Atur $y$ sama dengan $0$ .

$y = 0$

$x = 2 y$

Langkah 1.2.5

Atur $y - 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Atur $y - 4$ sama dengan $0$ .

$y - 4 = 0$

$x = 2 y$

Langkah 1.2.5.2

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$y = 4$

$x = 2 y$

$y = 4$

$x = 2 y$

Langkah 1.2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $y (y - 4) = 0$ benar.

$y = 0, 4$

$x = 2 y$

$y = 0, 4$

$x = 2 y$

Langkah 1.3

Substitusikan semua kemunculan $y$ dengan $0$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan semua kemunculan $y$ dalam $x = 2 y$ dengan $0$ .

$x = 2 (0)$

$y = 0$

Langkah 1.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

Langkah 1.4

Substitusikan semua kemunculan $y$ dengan $4$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Substitusikan semua kemunculan $y$ dalam $x = 2 y$ dengan $4$ .

$x = 2 (4)$

$y = 4$

Langkah 1.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$x = 8$

$y = 4$

$x = 8$

$y = 4$

$x = 8$

$y = 4$

Langkah 1.5

Penyelesaian dari sistem adalah himpunan lengkap dari pasangan terurut yang merupakan penyelesaian valid.

$(0, 0)$

$(8, 4)$

$(0, 0)$

$(8, 4)$

Langkah 2

Selesaikan $y^{2} = 2 x$ dalam suku-suku $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $2 x = y^{2}$ .

$2 x = y^{2}$

Langkah 2.2

Bagi setiap suku pada $2 x = y^{2}$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = y^{2}$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{y^{2}}{2}$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{y^{2}}{2}$

Langkah 2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{2}$

Langkah 3

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{0}^{4} 2 y d y - \int_{0}^{4} \frac{y^{2}}{2} d y$

Langkah 4

Integralkan untuk menghitung luas antara $0$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{0}^{4} 2 y - (\frac{y^{2}}{2}) d y$

Langkah 4.2

Kalikan $- 1$ dengan $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\int_{0}^{4} 2 y - \frac{y^{2}}{2} d y$

Langkah 4.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{0}^{4} 2 y d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{2}}{2} d y$

Langkah 4.4

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int_{0}^{4} y d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{2}}{2} d y$

Langkah 4.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{2}}{2} d y$

Langkah 4.6

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{2}}{2} d y$

Langkah 4.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} \frac{y^{2}}{2} d y$

Langkah 4.8

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{2} \int_{0}^{4} y^{2} d y)$

Langkah 4.9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4}) - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{4}$

Langkah 4.10

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.1

Evaluasi $\frac{y^{2}}{2}$ pada $4$ dan pada $0$ .

$2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{4}$

Langkah 4.10.2

Evaluasi $\frac{1}{3} y^{3}$ pada $4$ dan pada $0$ .

$2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Langkah 4.10.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.3.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$2 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Langkah 4.10.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $16$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $16$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Langkah 4.10.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Langkah 4.10.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Langkah 4.10.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Langkah 4.10.3.2.2.4

Bagilah $8$ dengan $1$ .

$2 (8 - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Langkah 4.10.3.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$2 (8 - \frac{0}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Langkah 4.10.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.3.4.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$2 (8 - \frac{2 (0)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Langkah 4.10.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.3.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$2 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Langkah 4.10.3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Langkah 4.10.3.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 (8 - \frac{0}{1}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Langkah 4.10.3.4.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$2 (8 - 0) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Langkah 4.10.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$2 (8 + 0) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Langkah 4.10.3.6

Tambahkan $8$ dan $0$ .

$2 \cdot 8 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Langkah 4.10.3.7

Kalikan $2$ dengan $8$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Langkah 4.10.3.8

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Langkah 4.10.3.9

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $64$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Langkah 4.10.3.10

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0)$

Langkah 4.10.3.11

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{64}{3} + 0 (\frac{1}{3}))$

Langkah 4.10.3.12

Kalikan $0$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{64}{3} + 0)$

Langkah 4.10.3.13

Tambahkan $\frac{64}{3}$ dan $0$ .

$16 - \frac{1}{2} \cdot \frac{64}{3}$

Langkah 4.10.3.14

Kalikan $\frac{64}{3}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$16 - \frac{64}{3 \cdot 2}$

Langkah 4.10.3.15

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$16 - \frac{64}{6}$

Langkah 4.10.3.16

Hapus faktor persekutuan dari $64$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.3.16.1

Faktorkan $2$ dari $64$ .

$16 - \frac{2 (32)}{6}$

Langkah 4.10.3.16.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.3.16.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$16 - \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3}$

Langkah 4.10.3.16.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$16 - \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3}$

Langkah 4.10.3.16.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$16 - \frac{32}{3}$

Langkah 4.10.3.17

Untuk menuliskan $16$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$16 \cdot \frac{3}{3} - \frac{32}{3}$

Langkah 4.10.3.18

Gabungkan $16$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16 \cdot 3}{3} - \frac{32}{3}$

Langkah 4.10.3.19

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{16 \cdot 3 - 32}{3}$

Langkah 4.10.3.20

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.3.20.1

Kalikan $16$ dengan $3$ .

$\frac{48 - 32}{3}$

Langkah 4.10.3.20.2

Kurangi $32$ dengan $48$ .

$\frac{16}{3}$

Langkah 5