Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x - 3}}{\ln (x - 2)}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{5 x - 3}}{lim_{x \to \infty} \ln (x - 2)}$

Langkah 1.2

Karena eksponen $5 x - 3$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{5 x - 3}$ mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x - 2)}$

Langkah 1.3

Ketika log mendekati tak hingga, nilainya menjadi $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x - 3}}{\ln (x - 2)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{5 x - 3}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{5 x - 3}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 5 x - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $5 x - 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $5 x - 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x - 3} \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Langkah 3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 x - 3$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x - 3} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Langkah 3.4

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x - 3} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Langkah 3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x - 3} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Langkah 3.6

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x - 3} (5 + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Langkah 3.7

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x - 3} (5 + 0)}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Langkah 3.8

Tambahkan $5$ dan $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x - 3} \cdot 5}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Langkah 3.9

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $e^{5 x - 3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 \cdot e^{5 x - 3}}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Langkah 3.10

Kalikan $5$ dengan $e^{5 x - 3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x - 3}}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Langkah 3.11

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x - 3}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Langkah 3.11.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x - 3}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Langkah 3.11.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x - 3}}{\frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Langkah 3.12

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 2$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x - 3}}{\frac{1}{x - 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}$

Langkah 3.13

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x - 3}}{\frac{1}{x - 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}$

Langkah 3.14

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x - 3}}{\frac{1}{x - 2} (1 + 0)}$

Langkah 3.15

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x - 3}}{\frac{1}{x - 2} \cdot 1}$

Langkah 3.16

Kalikan $\frac{1}{x - 2}$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x - 3}}{\frac{1}{x - 2}}$

Langkah 4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x - 3} (x - 2)$

Langkah 5

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$lim_{x \to \infty} 5 \cdot lim_{x \to \infty} e^{5 x - 3} \cdot lim_{x \to \infty} x - 2$

Langkah 5.2

Evaluasi limit dari $5$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$5 \cdot lim_{x \to \infty} e^{5 x - 3} \cdot lim_{x \to \infty} x - 2$

Langkah 6

Karena eksponen $5 x - 3$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{5 x - 3}$ mendekati $\infty$ .

$5 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} x - 2$

Langkah 7

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$5 \cdot \infty \cdot \infty$

Langkah 7.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Konstanta bukan nol kali tak hingga hasilnya tak hingga.

$\infty \cdot \infty$

Langkah 7.2.2

Tak hingga kali tak hingga hasilnya tak hingga.

$\infty$