Kalkulus Contoh

$f (x) = (11 - x) {(x + 1)}^{2}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tulis kembali ${(x + 1)}^{2}$ sebagai $(x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(11 - x) ((x + 1) (x + 1))]$

Langkah 1.1.2

Perluas $(x + 1) (x + 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [(11 - x) (x (x + 1) + 1 (x + 1))]$

Langkah 1.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [(11 - x) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))]$

Langkah 1.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [(11 - x) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)]$

Langkah 1.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{d}{d x} [(11 - x) (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)]$

Langkah 1.1.3.1.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{d}{d x} [(11 - x) (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)]$

Langkah 1.1.3.1.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{d}{d x} [(11 - x) (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)]$

Langkah 1.1.3.1.4

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\frac{d}{d x} [(11 - x) (x^{2} + x + x + 1)]$

Langkah 1.1.3.2

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$\frac{d}{d x} [(11 - x) (x^{2} + 2 x + 1)]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = 11 - x$ dan $g (x) = x^{2} + 2 x + 1$ .

$(11 - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1] + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [11 - x]$

Langkah 1.1.5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 2 x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(11 - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [11 - x]$

Langkah 1.1.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$(11 - x) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [11 - x]$

Langkah 1.1.5.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(11 - x) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [11 - x]$

Langkah 1.1.5.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(11 - x) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [11 - x]$

Langkah 1.1.5.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$(11 - x) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [11 - x]$

Langkah 1.1.5.6

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(11 - x) (2 x + 2 + 0) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [11 - x]$

Langkah 1.1.5.7

Tambahkan $2 x + 2$ dan $0$ .

$(11 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [11 - x]$

Langkah 1.1.5.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $11 - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [11] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(11 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [11] + \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 1.1.5.9

Karena $11$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $11$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(11 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 1.1.5.10

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(11 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 1.1.5.11

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(11 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) (- \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.1.5.12

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(11 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) (- 1 \cdot 1)$

Langkah 1.1.5.13

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.13.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$(11 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) \cdot - 1$

Langkah 1.1.5.13.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x^{2} + 2 x + 1$ .

$(11 - x) (2 x + 2) - 1 \cdot (x^{2} + 2 x + 1)$

Langkah 1.1.5.13.3

Tulis kembali $- 1 (x^{2} + 2 x + 1)$ sebagai $- (x^{2} + 2 x + 1)$ .

$(11 - x) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x + 1)$

Langkah 1.1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1

Terapkan sifat distributif.

$(11 - x) (2 x + 2) - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 1.1.6.2

Terapkan sifat distributif.

$(11 - x) (2 x) + (11 - x) \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 1.1.6.3

Terapkan sifat distributif.

$11 (2 x) - x (2 x) + (11 - x) \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 1.1.6.4

Terapkan sifat distributif.

$11 (2 x) - x (2 x) + 11 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 1.1.6.5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.5.1

Kalikan $2$ dengan $11$ .

$22 x - x (2 x) + 11 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 1.1.6.5.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$22 x - 2 x \cdot x + 11 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 1.1.6.5.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$22 x - 2 (x^{1} x) + 11 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 1.1.6.5.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$22 x - 2 (x^{1} x^{1}) + 11 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 1.1.6.5.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$22 x - 2 x^{1 + 1} + 11 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 1.1.6.5.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$22 x - 2 x^{2} + 11 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 1.1.6.5.7

Kalikan $11$ dengan $2$ .

$22 x - 2 x^{2} + 22 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 1.1.6.5.8

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$22 x - 2 x^{2} + 22 - 2 x - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 1.1.6.5.9

Kurangi $2 x$ dengan $22 x$ .

$20 x - 2 x^{2} + 22 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 1.1.6.5.10

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$20 x - 2 x^{2} + 22 - x^{2} - 2 x - 1 \cdot 1$

Langkah 1.1.6.5.11

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$20 x - 2 x^{2} + 22 - x^{2} - 2 x - 1$

Langkah 1.1.6.5.12

Kurangi $x^{2}$ dengan $- 2 x^{2}$ .

$20 x - 3 x^{2} + 22 - 2 x - 1$

Langkah 1.1.6.5.13

Kurangi $2 x$ dengan $20 x$ .

$18 x - 3 x^{2} + 22 - 1$

Langkah 1.1.6.5.14

Kurangi $1$ dengan $22$ .

$18 x - 3 x^{2} + 21$

Langkah 1.1.6.6

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x + 21$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 3 x^{2} + 18 x + 21$ .

$- 3 x^{2} + 18 x + 21$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 3 x^{2} + 18 x + 21 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 3 x^{2} + 18 x + 21 = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $- 3$ dari $- 3 x^{2} + 18 x + 21$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan $- 3$ dari $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 18 x + 21 = 0$

Langkah 2.2.1.2

Faktorkan $- 3$ dari $18 x$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 6 x) + 21 = 0$

Langkah 2.2.1.3

Faktorkan $- 3$ dari $21$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 6 x) - 3 \cdot - 7 = 0$

Langkah 2.2.1.4

Faktorkan $- 3$ dari $- 3 (x^{2}) - 3 (- 6 x)$ .

$- 3 (x^{2} - 6 x) - 3 \cdot - 7 = 0$

Langkah 2.2.1.5

Faktorkan $- 3$ dari $- 3 (x^{2} - 6 x) - 3 (- 7)$ .

$- 3 (x^{2} - 6 x - 7) = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan $x^{2} - 6 x - 7$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 7$ dan jumlahnya $- 6$ .

$- 7, 1$

Langkah 2.2.2.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$- 3 ((x - 7) (x + 1)) = 0$

Langkah 2.2.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$- 3 (x - 7) (x + 1) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

Langkah 2.4

Atur $x - 7$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $x - 7$ sama dengan $0$ .

$x - 7 = 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $7$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 7$

Langkah 2.5

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 2.5.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- 3 (x - 7) (x + 1) = 0$ benar.

$x = 7, - 1$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 4

Evaluasi $(11 - x) {(x + 1)}^{2}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $7$ untuk $x$ .

$(11 - (7)) {((7) + 1)}^{2}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $7$ .

$(11 - 7) {((7) + 1)}^{2}$

Langkah 4.1.2.2

Kurangi $7$ dengan $11$ .

$4 {((7) + 1)}^{2}$

Langkah 4.1.2.3

Tambahkan $7$ dan $1$ .

$4 \cdot 8^{2}$

Langkah 4.1.2.4

Naikkan $8$ menjadi pangkat $2$ .

$4 \cdot 64$

Langkah 4.1.2.5

Kalikan $4$ dengan $64$ .

$256$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $- 1$ untuk $x$ .

$(11 - (- 1)) {((- 1) + 1)}^{2}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$(11 + 1) {((- 1) + 1)}^{2}$

Langkah 4.2.2.2

Tambahkan $11$ dan $1$ .

$12 {((- 1) + 1)}^{2}$

Langkah 4.2.2.3

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$12 \cdot 0^{2}$

Langkah 4.2.2.4

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$12 \cdot 0$

Langkah 4.2.2.5

Kalikan $12$ dengan $0$ .

$0$

Langkah 4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(7, 256), (- 1, 0)$

Langkah 5