Kalkulus Contoh

$4 x^{2} - 6 x^{4}$

Langkah 1

Tulis $4 x^{2} - 6 x^{4}$ sebagai fungsi.

$f (x) = 4 x^{2} - 6 x^{4}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{2} - 6 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{4}]$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{4}]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{4}]$

Langkah 2.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [- 6 x^{4}]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 6 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $- 6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$8 x - 6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$8 x - 6 (4 x^{3})$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $4$ dengan $- 6$ .

$8 x - 24 x^{3}$

Langkah 2.1.4

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - 24 x^{3} + 8 x$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 24 x^{3} + 8 x$ .

$- 24 x^{3} + 8 x$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 24 x^{3} + 8 x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 24 x^{3} + 8 x = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan $- 8 x$ dari $- 24 x^{3} + 8 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $- 8 x$ dari $- 24 x^{3}$ .

$- 8 x (3 x^{2}) + 8 x = 0$

Langkah 3.2.2

Faktorkan $- 8 x$ dari $8 x$ .

$- 8 x (3 x^{2}) - 8 x \cdot - 1 = 0$

Langkah 3.2.3

Faktorkan $- 8 x$ dari $- 8 x (3 x^{2}) - 8 x (- 1)$ .

$- 8 x (3 x^{2} - 1) = 0$

Langkah 3.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$3 x^{2} - 1 = 0$

Langkah 3.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 3.5

Atur $3 x^{2} - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Atur $3 x^{2} - 1$ sama dengan $0$ .

$3 x^{2} - 1 = 0$

Langkah 3.5.2

Selesaikan $3 x^{2} - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$3 x^{2} = 1$

Langkah 3.5.2.2

Bagi setiap suku pada $3 x^{2} = 1$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $3 x^{2} = 1$ dengan $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Langkah 3.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Langkah 3.5.2.2.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Langkah 3.5.2.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Langkah 3.5.2.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.4.1

Tulis kembali $\sqrt{\frac{1}{3}}$ sebagai $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Langkah 3.5.2.4.2

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Langkah 3.5.2.4.3

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Langkah 3.5.2.4.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.4.4.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Langkah 3.5.2.4.4.2

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Langkah 3.5.2.4.4.3

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Langkah 3.5.2.4.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Langkah 3.5.2.4.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Langkah 3.5.2.4.4.6

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.4.4.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 3.5.2.4.4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.5.2.4.4.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.5.2.4.4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.4.4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.5.2.4.4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Langkah 3.5.2.4.4.6.5

Evaluasi eksponennya.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Langkah 3.5.2.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Langkah 3.5.2.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Langkah 3.5.2.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Langkah 3.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- 8 x (3 x^{2} - 1) = 0$ benar.

$x = 0, \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0, \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$0, \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1.57735026$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1.57735026) = - 24 {(- 1.57735026)}^{3} + 8 (- 1.57735026)$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 1.57735026$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- 1.57735026) = - 24 \cdot - 3.92450082 + 8 (- 1.57735026)$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $- 24$ dengan $- 3.92450082$ .

$f' (- 1.57735026) = 94.18801988 + 8 (- 1.57735026)$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $8$ dengan $- 1.57735026$ .

$f' (- 1.57735026) = 94.18801988 - 12.61880208$

Langkah 6.2.2

Kurangi $12.61880208$ dengan $94.18801988$ .

$f' (- 1.57735026) = 81.5692178$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $81.5692178$ .

$81.5692178$

Langkah 6.3

Pada $x = - 1.57735026$ , turunannya adalah $81.5692178$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Meningkat pada $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 0.57735026, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.28867513$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 0.28867513) = - 24 {(- 0.28867513)}^{3} + 8 (- 0.28867513)$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $- 0.28867513$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- 0.28867513) = - 24 \cdot - 0.02405626 + 8 (- 0.28867513)$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $- 24$ dengan $- 0.02405626$ .

$f' (- 0.28867513) = 0.57735024 + 8 (- 0.28867513)$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $8$ dengan $- 0.28867513$ .

$f' (- 0.28867513) = 0.57735024 - 2.30940104$

Langkah 7.2.2

Kurangi $2.30940104$ dengan $0.57735024$ .

$f' (- 0.28867513) = - 1.73205079$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 1.73205079$ .

$- 1.73205079$

Langkah 7.3

Pada $x = - 0.28867513$ , turunannya adalah $- 1.73205079$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- 0.57735026, 0)$ .

Menurun pada $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, 0)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(0, \frac{\sqrt{3}}{3})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.28867513$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0.28867513) = - 24 {(0.28867513)}^{3} + 8 (0.28867513)$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $0.28867513$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (0.28867513) = - 24 \cdot 0.02405626 + 8 (0.28867513)$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $- 24$ dengan $0.02405626$ .

$f' (0.28867513) = - 0.57735024 + 8 (0.28867513)$

Langkah 8.2.1.3

Kalikan $8$ dengan $0.28867513$ .

$f' (0.28867513) = - 0.57735024 + 2.30940104$

Langkah 8.2.2

Tambahkan $- 0.57735024$ dan $2.30940104$ .

$f' (0.28867513) = 1.73205079$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1.73205079$ .

$1.73205079$

Langkah 8.3

Pada $x = 0.28867513$ , turunannya adalah $1.73205079$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(0, \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Meningkat pada $(0, \frac{\sqrt{3}}{3})$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 9

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Ganti variabel $x$ dengan $1.57735026$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1.57735026) = - 24 {(1.57735026)}^{3} + 8 (1.57735026)$

Langkah 9.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1

Naikkan $1.57735026$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (1.57735026) = - 24 \cdot 3.92450082 + 8 (1.57735026)$

Langkah 9.2.1.2

Kalikan $- 24$ dengan $3.92450082$ .

$f' (1.57735026) = - 94.18801988 + 8 (1.57735026)$

Langkah 9.2.1.3

Kalikan $8$ dengan $1.57735026$ .

$f' (1.57735026) = - 94.18801988 + 12.61880208$

Langkah 9.2.2

Tambahkan $- 94.18801988$ dan $12.61880208$ .

$f' (1.57735026) = - 81.5692178$

Langkah 9.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 81.5692178$ .

$- 81.5692178$

Langkah 9.3

Pada $x = 1.57735026$ , turunannya adalah $- 81.5692178$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ .

Menurun pada $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 10

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}), (0, \frac{\sqrt{3}}{3})$

Menurun pada: $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, 0), (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Langkah 11