Kalkulus Contoh

$f (x) = 5 x^{3 e^{x}}$

Langkah 1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x^{3 e^{x}}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x^{3 e^{x}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3 e^{x}}]$

Langkah 2

Gunakan sifat-sifat logaritma untuk menyederhanakan differensiasinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali $x^{3 e^{x}}$ sebagai $e^{\ln (x^{3 e^{x}})}$ .

$5 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{3 e^{x}})}]$

Langkah 2.2

Perluas $\ln (x^{3 e^{x}})$ dengan memindahkan $3 e^{x}$ ke luar logaritma.

$5 \frac{d}{d x} [e^{3 e^{x} \ln (x)}]$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 3 e^{x} \ln (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 e^{x} \ln (x)$ .

$5 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 e^{x} \ln (x)])$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$5 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 e^{x} \ln (x)])$

Langkah 3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 e^{x} \ln (x)$ .

$5 (e^{3 e^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [3 e^{x} \ln (x)])$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 e^{x} \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$ .

$5 e^{3 e^{x} \ln (x)} (3 \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

Langkah 4.2

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$

Langkah 5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Langkah 6

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Langkah 7

Gabungkan $e^{x}$ dan $\frac{1}{x}$ .

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Langkah 8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) e^{x})$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Terapkan sifat distributif.

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} \frac{e^{x}}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Langkah 9.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Gabungkan $\frac{e^{x}}{x}$ dan $15$ .

$\frac{e^{x} \cdot 15}{x} e^{3 e^{x} \ln (x)} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Langkah 9.2.2

Gabungkan $\frac{e^{x} \cdot 15}{x}$ dan $e^{3 e^{x} \ln (x)}$ .

$\frac{e^{x} \cdot 15 e^{3 e^{x} \ln (x)}}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Langkah 9.2.3

Kalikan $e^{x}$ dengan $e^{3 e^{x} \ln (x)}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.1

Pindahkan $e^{3 e^{x} \ln (x)}$ .

$\frac{e^{3 e^{x} \ln (x)} e^{x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Langkah 9.2.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{e^{3 e^{x} \ln (x) + x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Langkah 9.2.3.3

Kalikan $3 e^{x} \ln (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.3.1

Susun kembali $\ln (x)$ dan $3$ .

$\frac{e^{3 \cdot \ln (x) e^{x} + x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Langkah 9.2.3.3.2

Sederhanakan $3 \cdot \ln (x)$ dengan memindahkan $3$ ke dalam logaritma.

$\frac{e^{\ln (x^{3}) e^{x} + x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Langkah 9.2.3.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln (x^{3}) e^{x} + x$ .

$\frac{e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Langkah 9.2.4

Pindahkan $15$ ke sebelah kiri $e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}$ .

$\frac{15 \cdot e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Langkah 9.2.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{15 e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}}{x} + 15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} \ln (x)$

Langkah 9.2.6

Untuk menuliskan $15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} \ln (x)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{15 e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}}{x} + \frac{15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Langkah 9.2.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{15 e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x} + 15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Langkah 9.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} x \ln (x) + 15 e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}}{x}$