Kalkulus Contoh

$f (x) = 4 x^{2} \sqrt{x^{2} - 1}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x^{2} - 1}$ sebagai ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x^{2} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} - 1$ .

$4 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} - 1$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 8

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 8.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (x^{2} (\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 8.3

Pindahkan ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 8.4

Gabungkan $\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 9

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 11

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 12

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 12.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 12.3

Gabungkan $\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$4 (\frac{2 x^{2} x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 13

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$4 (\frac{2 (x^{1} x^{2})}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 14

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$4 (\frac{2 x^{1 + 2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 15

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$4 (\frac{2 x^{3}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 15.2

Batalkan faktor persekutuan.

$4 (\frac{2 x^{3}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 15.3

Tulis kembali pernyataannya.

$4 (\frac{x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 16

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 (\frac{x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x))$

Langkah 17

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x)$

Langkah 18

Gabungkan $\frac{x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x$ menggunakan penyebut umum.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Pindahkan ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 18.2

Untuk menuliskan $2 x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 18.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$4 \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19

Kalikan ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Pindahkan ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{x^{3} + 2 x ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$4 \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$4 \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$4 \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$4 \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} - 1)}^{1}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 20

Sederhanakan $2 x {(x^{2} - 1)}^{1}$ .

$4 \frac{x^{3} + 2 x (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 21

Gabungkan $4$ dan $\frac{x^{3} + 2 x (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 (x^{3} + 2 x (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{4 (x^{3} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{4 x^{3} + 4 (2 x \cdot x^{2}) + 4 (2 x \cdot - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.3.1.1.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 (2 (x^{2} x)) + 4 (2 x \cdot - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.3.1.1.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.3.1.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 (2 (x^{2} x^{1})) + 4 (2 x \cdot - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.3.1.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{4 x^{3} + 4 (2 x^{2 + 1}) + 4 (2 x \cdot - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.3.1.1.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 (2 x^{3}) + 4 (2 x \cdot - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.3.1.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\frac{4 x^{3} + 8 x^{3} + 4 (2 x \cdot - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.3.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 8 x^{3} + 4 (- 2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.3.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $4$ .

$\frac{4 x^{3} + 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.3.2

Tambahkan $4 x^{3}$ dan $8 x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.4

Faktorkan $4 x$ dari $12 x^{3} - 8 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.4.1

Faktorkan $4 x$ dari $12 x^{3}$ .

$\frac{4 x (3 x^{2}) - 8 x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.4.2

Faktorkan $4 x$ dari $- 8 x$ .

$\frac{4 x (3 x^{2}) + 4 x (- 2)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.4.3

Faktorkan $4 x$ dari $4 x (3 x^{2}) + 4 x (- 2)$ .

$\frac{4 x (3 x^{2} - 2)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$